O chamado VLBA (Very Long Baseline Array) utiliza uma série de telescópios de rádio individuais para criar uma unidade com um diâmetro equivalente de cerca de 8.000 km. Quando esse telescópio de rádio está focalizando ondas de rádio com comprimento de onda de 2,0 cm, qual teria de ser o diâmetro do espelho de um telescópio de luz visível focalizando a luz com comprimento de onda de 550 nm de modo que o telescópio de luz visível tenha a mesma resolução do telescópio de rádio?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que o VLBA, um conjunto de radiotelescópios com “diâmetro virtual” de 8 000 km, foca ondas de rádio de comprimento de onda 2,0 cm. A pergunta é: que tamanho precisaria ter um telescópio de luz visível (λ = 550 nm) para ter a MESMA resolução angular?
Conteúdo: óptica de difração e resolução angular de um telescópio, usando a fórmula de difração de uma abertura circular. Vamos precisar da relação
theta approx 1,22,lambdaD
onde θ é a resolução, λ o comprimento de onda e D o diâmetro do espelho/aperture.

Passo 2

O que é resolução angular? É o menor ângulo que o telescópio consegue “separar” dois pontos. Por difração, para uma abertura circular vale
theta = 1,22,lambdaD,
Quanto menor θ, melhor a resolução. A ideia é igualar a θ do rádio e a θ da luz visível para achar D_visível.

Passo 3

Como queremos a mesma resolução, escrevemos
1,22dfraclambdarm rádioDrm rádio ;=; 1,22dfraclambdarm visDrm vis áá
O fator 1,22 some dos dois lados, então sobra
[
\frac{\lambda_{\rm rádio}}{D_{\rm rádio}}

\frac{\lambda_{\rm vis}}{D_{\rm vis}}
\quad\Longrightarrow\quad
D_{\rm vis}

D_{\rm rádio},\frac{\lambda_{\rm vis}}{\lambda_{\rm rádio}}.
]

Passo 4

Agora é só pôr os números (convertidos para metros):
Drm vis = 8,0times10^6 ;times; 5,5times10^-72,0times10^-2 =8,0times10^6times2,75times10^-5 approx2,2times10^2 m á
á
Então

Resposta

O espelho do telescópio de luz visível precisaria ter cerca de 2,2×10² m de diâmetro (ou seja, uns 220 m) para igualar a resolução do VLBA em rádio.

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