Chamam-se de números algébricos aqueles números reais que são raízes de algum polinômio de coeficientes inteiros. Por exemplo,
- 1 é algébrico porque é raiz do polinômio
,
-
é algébrico porque é raiz do polinômio
e
-
é algébrico porque é raiz do polinômio
.
Prove que todo número racional é algébrico, mas que existem números algébricos que não são racionais.
Prove que todo número racional é algébrico, mas que existem números algébricos que não são racionais.
Passo 1
O enunciado define número algébrico como aquele que é raiz de algum polinômio com coeficientes inteiros. Precisamos mostrar duas coisas:
- que qualquer número racional é algébrico;
- que existem números algébricos que não são racionais.
Passo 2
Seja um número racional qualquer
, com
e
. Note que
é um polinômio de coeficientes inteiros (coeficientes
e
). Como substituindo
obtemos
segue que
é raiz desse polinômio. Logo todo racional é algébrico.
Passo 3
Para exibir um algébrico não-racional, considere
. Temos o polinômio
cuja raiz é
, logo
é algébrico. Agora provamos que
é irracional por absurdo:
Suponha que
com
inteiros primos entre si e
. Então
Isso implica que
é par, logo
é par; escreva
. Substituindo de volta:
logo
também é par. Assim
e
têm um fator
em comum, contradizendo a escolha de serem primos entre si. Portanto
não é racional.
Resposta
Todo número racional é algébrico, pois
é raiz de
. Por outro lado, por exemplo
é algébrico (raiz de
) mas não é racional.