Chamam-se de números algébricos aqueles números reais que são raízes de algum polinômio de coeficientes inteiros. Por exemplo,
  • 1 é algébrico porque é raiz do polinômio p(x)=x-1,
  • 23 é algébrico porque é raiz do polinômio p(x)=3 x-2 e
  • raiz2 é algébrico porque é raiz do polinômio p(x)=x^2-2.
    Prove que todo número racional é algébrico, mas que existem números algébricos que não são racionais.

Passo 1

O enunciado define número algébrico como aquele que é raiz de algum polinômio com coeficientes inteiros. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. que qualquer número racional é algébrico;
  2. que existem números algébricos que não são racionais.

Passo 2

Seja um número racional qualquer pq, com pinZ e qinZsetminus0. Note que
qcdot x - p = 0
é um polinômio de coeficientes inteiros (coeficientes q e -p). Como substituindo x=pq obtemos
qcdotpq-p=0,
segue que pq é raiz desse polinômio. Logo todo racional é algébrico.

Passo 3

Para exibir um algébrico não-racional, considere raiz2. Temos o polinômio
x^2 - 2 = 0
cuja raiz é raiz2, logo raiz2 é algébrico. Agora provamos que raiz2 é irracional por absurdo:
Suponha que raiz2=ab com a,b inteiros primos entre si e bneq0. Então
2 = a^2b^2 Longrightarrow a^2 = 2,b^2
Isso implica que a^2 é par, logo a é par; escreva a=2k. Substituindo de volta:
(2k)^2 = 2,b^2 Longrightarrow 4k^2 = 2,b^2 Longrightarrow b^2 = 2,k^2,
logo b também é par. Assim a e b têm um fator 2 em comum, contradizendo a escolha de serem primos entre si. Portanto raiz2 não é racional.

Resposta

Todo número racional é algébrico, pois pq é raiz de q x - p. Por outro lado, por exemplo raiz2 é algébrico (raiz de x^2-2) mas não é racional.

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