Chamam-se de números algébricos aqueles números reais que são raízes de algum polinômio de coeficientes inteiros. Por exemplo,
- 1 é algébrico porque é raiz do polinômio
,
-
é algébrico porque é raiz do polinômio
e
-
é algébrico porque é raiz do polinômio
.
Prove que o conjunto do números algébricos é enumerável.
Sugestão:
1 Se
, o conjunto
: raízes reais do polinômio
é finito.
é enumerável.
3 O conjunto de números algébricos é a união dos conjuntos
: raízes dos polinômios de coeficientes inteiros e grau
.
Prove que o conjunto do números algébricos é enumerável.
Sugestão:
1 Se
3 O conjunto de números algébricos é a união dos conjuntos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é enumerável. A ideia geral é escrever
como união de conjuntos de raízes de polinômios de grau fixo e usar que união contável de conjuntos finitos ou contáveis é contável.
Passo 2
Para cada
e cada tupla
com
, consideremos o polinômio
e seja
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra,
tem exatamente
raízes complexas (contando multiplicidade), logo no máximo
raízes reais. Assim cada
é finito.
Passo 3
Sabemos que
é enumerável. Portanto o produto finito
também é enumerável. Sejam
Como
é finito para todo
e
é enumerável, a união que define
é união contável de conjuntos finitos, logo
é enumerável.
Passo 4
O conjunto dos números algébricos é
Cada
é enumerável e estamos fazendo uma união contável de conjuntos enumeráveis, portanto
é enumerável.
Resposta
O conjunto dos números algébricos é enumerável.