Chamam-se de números algébricos aqueles números reais que são raízes de algum polinômio de coeficientes inteiros. Por exemplo,
  • 1 é algébrico porque é raiz do polinômio p(x)=x-1,
  • 23 é algébrico porque é raiz do polinômio p(x)=3 x-2 e
  • raiz2 é algébrico porque é raiz do polinômio p(x)=x^2-2.
    Prove que o conjunto do números algébricos é enumerável.
    Sugestão:
    1 Se a=(a0, ldots, an) in Z^n+1, o conjunto R(a) : raízes reais do polinômio p(x)=a0+a1 x+cdots an x^n é finito.
    2 Z^n+1 é enumerável.
    3 O conjunto de números algébricos é a união dos conjuntos An : raízes dos polinômios de coeficientes inteiros e grau n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
A=alphainRmid alpha é raiz de algum polinômio de coeficientes em Zéô
é enumerável. A ideia geral é escrever A como união de conjuntos de raízes de polinômios de grau fixo e usar que união contável de conjuntos finitos ou contáveis é contável.

Passo 2

Para cada n>=0 e cada tupla
a=(a0,a1,dots,an)inZ^n+1
com anneq0, consideremos o polinômio
pa(x)=a0+a1x+cdots+anx^n
e seja
R(a)=raízes reais de pa í
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, pa tem exatamente n raízes complexas (contando multiplicidade), logo no máximo n raízes reais. Assim cada R(a) é finito.

Passo 3

Sabemos que é enumerável. Portanto o produto finito também é enumerável. Sejam
Como é finito para todo e é enumerável, a união que define é união contável de conjuntos finitos, logo é enumerável.

Passo 4

O conjunto dos números algébricos é
A=cupn=0^inftyAn
Cada An é enumerável e estamos fazendo uma união contável de conjuntos enumeráveis, portanto A é enumerável.

Resposta

O conjunto dos números algébricos é enumerável.

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