(Outra demonstração da enumerabilidade de Q.)
Prove que a função : Q r in Q mid 0<r<1 dada por
f(x)=12(1+x1+|x|)
é bijetora.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon QtorinQmid 0<r<1, f(x)=tfrac12l(1+tfracx1+|x|r),
e pede para mostrar que ela é bijetora. O conteúdo usado será análise de função: verificar bem-definição em racionais, injetividade e sobrejetividade. Na surjetividade resolveremos a equação f(x)=r em função de rin(0,1)capQ, tratando separadamente o sinal de x.

Passo 2

Verificação de bem-definição e imagem em Qcap(0,1).
1. Se xinQ então |x|inQ, logo 1+|x|inQsetminus0. Assim
x1+|x|inQ,
e consequentemente
f(x)=tfrac12l(1+tfracx1+|x|r)inQ
2. Para quaisquer x temos -1<tfracx1+|x|<1. De fato, l|tfracx1+|x|r|<1. Logo
0<1+x1+|x|<2 Longrightarrow 0<tfrac12l(1+tfracx1+|x|r)<1
Portanto f(x) está mesmo em rinQmid 0<r<1.

Passo 3

Provar que f é injetora.
Suponha f(x1)=f(x2). Então
x11+|x1| =x21+|x2|
Se x1>=0 e x2>=0 então essa igualdade vira
x11+x1=x21+x2 ;Longrightarrow; x1(1+x2)=x2(1+x1) ;Longrightarrow; x1=x2
Se x1<0 e x2<0 então |xi|=-xi e
x11-x1=x21-x2 ;Longrightarrow; x1(1-x2)=x2(1-x1) ;Longrightarrow; x1=x2
Não há possibilidade de um lado ser não-negativo e o outro negativo, pois o sinal de tfracx1+|x| coincide com o de x. Logo a única solução é x1=x2, e f é injetora.

Passo 4

Provar que f é sobrejetora.
Seja rinQ tal que 0<r<1. Defina
s=2r-1,
então sinQ e -1<s<1. Queremos xinQ tal que
tfrac12l(1+tfracx1+|x|r)=r ;Long<=ftrightarrow; x1+|x|=s
Caso 1. s>=0. Então buscamos x>=0 e |x|=x, satisfazendo
x1+x=s ;Longrightarrow; x=s(1+x) ;Longrightarrow; x(1-s)=s ;Longrightarrow; x=s1-s
Como 0<= s<1 o denominador 1-s é positiv o e xinQ.
Caso 2. s<0. Então queremos x<0 e |x|=-x, satisfazendo
x1 - x=s ;Longrightarrow; x=s(1-x) ;Longrightarrow; x(1+s)=s ;Longrightarrow; x=s1+s
Aqui -1<s<0 garante 1+s>0 e de novo xinQ.
Em ambos os casos obtemos xinQ com f(x)=r. Portanto f é sobrejetora.

Resposta

A função f é bijetora.

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