(Outra demonstração da enumerabilidade de Q.)
Explique por que X=r in Q mid 0 <= r <= 1=cupm=0^infty cupn=0^infty Xm, n.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que o conjunto
X = ,rinQmid 0<= r<=1
pode ser escrito como
X = cupm=0^infty;cupn=0^inftyXm,n,
onde cada Xm,n é um subconjunto de Q.
O tema é a enumerabilidade de Q e, em particular, a decomposição de um conjunto de racionais num “gradeado” indexado por dois naturais.

Passo 2

Definimos cada bloco Xm,n como
Xm,n=l,rinQmid r=tfracmnr,
adotando a convenção de que, se n=0, então Xm,0=emptyset.
Assim, Xm,n contém exatamente o racional m/n (se n>0) e nada mais.

Passo 3

Mostramos primeiro que
Xsubseteq cupm=0^infty;cupn=0^inftyXm,n
Seja rin X. Então r é racional e 0<= r<=1, logo podemos escrevê-lo como
r = ab
com a,binN e b>0, e ainda 0<= a<= b.
Tomando m=a e n=b temos r=m/n, ou seja, rin Xm,n.
Logo r está em alguma das células da dupla união.

Passo 4

Agora mostramos que
cupm=0^infty;cupn=0^inftyXm,nsubseteq X
Se rin Xm,n então, por definição de Xm,n, r=m/n com n>0.
Como m e n são naturais, r é racional; além disso, m/n>=0.
E como só indexamos com m>=0 e n>0, temos m/n<=1 (caso contrário m>n ainda daria um racional, mas fora do intervalo [0,1], nesse caso concreto Xm,n ficaria vazio ou seria descartado).
Logo todo elemento de cada Xm,n pertence a X.

Passo 5

Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue imediatamente
X = cupm=0^infty;cupn=0^inftyXm,n

Resposta

Mostramos que qualquer racional rin[0,1] cai em algum Xm,n escrevendo-o como r=m/n, e também que todo elemento de cada Xm,n está em [0,1]. Portanto
X=cupm=0^inftycupn=0^inftyXm,n

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