Encontre as equações vetoriais, paramétricas e gerais dos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial, paramétrica e geral dos três planos coordenados em R^3: o plano xOy (eixo x e y), o plano yOz (eixo y e z) e o plano zOx (eixo z e x).
Para cada plano usamos a forma vetorial
r = r0 + s, u + t, v
onde r0 é um ponto no plano e u, v são vetores diretores.
A forma paramétrica vem de separar as componentes de r em cada coordenada.
A forma geral vem de usar um vetor normal n (perpendicular ao plano) e escrever
ncdot(x,y,z)+d=0

Passo 2

Plano xOy (onde z=0).
Escolhemos r0=(0,0,0), vetores diretores u=(1,0,0), v=(0,1,0).
A equação vetorial é
r=(0,0,0)+s,(1,0,0)+t,(0,1,0)
A forma paramétrica é
x=s, y=t, z=0
Como n= utimes v=(0,0,1), a forma geral é
0,x+0,y+1,z=0Longrightarrow z=0

Passo 3

Plano yOz (onde x=0).
Escolhemos r0=(0,0,0), vetores diretores u=(0,1,0), v=(0,0,1).
A equação vetorial é
r=(0,0,0)+s,(0,1,0)+t,(0,0,1)
A forma paramétrica é
x=0, y=s, z=t
Como n= utimes v=(1,0,0), a forma geral é
1,x+0,y+0,z=0Longrightarrow x=0

Passo 4

Plano zOx (ou xOz, onde y=0).
Escolhemos r0=(0,0,0), vetores diretores u=(1,0,0), v=(0,0,1).
A equação vetorial é
r=(0,0,0)+s,(1,0,0)+t,(0,0,1)
A forma paramétrica é
x=s, y=0, z=t
Como n= utimes v=(0,1,0), a forma geral é
0,x+1,y+0,z=0Longrightarrow y=0

Resposta

Plano xOy:
r=(0,0,0)+s,(1,0,0)+t,(0,1,0), ;x=s,;y=t,;z=0, ;z=0.
Plano yOz:
r=(0,0,0)+s,(0,1,0)+t,(0,0,1), ;x=0,;y=s,;z=t, ;x=0.
Plano zOx:
r=(0,0,0)+s,(1,0,0)+t,(0,0,1), ;x=s,;y=0,;z=t, ;y=0.

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