Chamamos primos gêmeos dois inteiros positivos ímpares e consecutivos que são ambos primos. Por exemplo, são primos gêmeos os seguintes pares de inteiros: 3 e 5,5 e 7,29 e 31 etc (1). Verifique se são primos gêmeos os inteiros abaixo.
(b) 1997 e 1999

Passo 1

O enunciado define primos gêmeos como dois inteiros ímpares cuja diferença é 2 e que são ambos primos. Pede-se para verificar se os números 1997 e 1999 formam um par de primos gêmeos. Para isso, vamos
  1. testar a primalidade de 1997,
  2. testar a primalidade de 1999,
  3. checar se a diferença entre eles é 2.

Passo 2

Para testar se 1997 é primo, calculamos
raiz1997approx44,7
e verificamos a divisibilidade apenas pelos primos até 43, ou seja, 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43.
  • Por 3: soma dos dígitos 1+9+9+7=26, não múltiplo de 3.
  • Por 5: não termina em 0 nem em 5.
  • Para cada pin7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43 obtemos 1997 bmod p neq 0 (por exemplo, 1997=7cdot285+2, 1997=37cdot54-1, etc.)
    Logo, 1997 não tem divisor próprio além de 1 e ele mesmo, isto é, é primo.

Passo 3

Análogo para 1999:
raiz1999approx44,7
Testamos divisibilidade por 3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43.
  • Por 3: soma dos dígitos 1+9+9+9=28, não múltiplo de 3.
  • Por 5: não termina em 0 nem em 5.
  • Para cada primo p<=43, 1999 bmod p neq 0 (por exemplo, 1999=37cdot54+1, 1999=43cdot46+21, etc.)
    Portanto, 1999 também é primo.

Passo 4

Como ,1999-1997=2 e ambos são primos ímpares, eles satisfazem a definição de primos gêmeos.

Resposta

Sim, 1997 e 1999 são primos gêmeos.

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