Chamamos de sistema homogêneo aquele sistema cujos termos independentes são todos nulos. Encontre os valores de k in R, tais que o sistema homogêneo
c 2 x1-5 x2+2 x3=0 x1+x2+x3=0 2 x1+k x3=0
tenha uma solução distinta da solução trivial (x1=x2=x3=0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para achar os valores de k que fazem um sistema de equações homogêneo ter uma solução diferente da solução trivial (onde todas as incógnitas são zero). Estamos lidando com álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender determinantes e como eles nos ajudam a saber se o sistema tem soluções não triviais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz de coeficientes. Nosso sistema é:
2x1 - 5x2 + 2x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 2x1 + kx3 = 0
A matriz de coeficientes fica assim:
A = 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & k

Passo 3

Agora, para que o sistema tenha soluções além da trivial, o determinante dessa matriz precisa ser zero. O determinante nos diz se as linhas da matriz são lineares independentes. Se for zero, elas são dependentes e existe uma solução não trivial.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A :
det(A) = 2 cdot 1 & 1 0 & k - (-5) cdot 1 & 1 2 & k + 2 cdot 1 & 1 2 & 0
Calculando os menores:
1 & 1 0 & k = (1)(k) - (1)(0) = k
1 & 1 2 & k = (1)(k) - (1)(2) = k - 2
1 & 1 2 & 0 = (1)(0) - (1)(2) = -2

Passo 5

Substituindo de volta no determinante:
det(A) = 2(k) - (-5)(k - 2) + 2(-2)
Simplificando:
det(A) = 2k + 5(k - 2) - 4 = 2k + 5k - 10 - 4 = 7k - 14

Passo 6

Queremos que o determinante seja zero para ter soluções não triviais:
7k - 14 = 0
Resolvendo para k :
7k = 14 k = 2

Resposta

O valor de k que faz o sistema homogêneo ter uma solução diferente da trivial é k = 2 .

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