Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R^2 e R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=(x, y) in R^2 ; y=-2 x

Passo 1

O enunciado apresenta o subconjunto
S = (x,y)inR^2 mid y = -2x
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^2 com as operações usuais. Para isso, vamos checar três propriedades fundamentais:
  1. O vetor zero pertence a S.
  2. S é fechada sob adição.
  3. S é fechada sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero:
O vetor zero de R^2 é (0,0). Como
0 = -2cdot 0,
temos (0,0)in S.

Passo 3

Fechamento sob adição:
Sejam (x1,y1) e (x2,y2) vetores em S. Então
y1 = -2x1 e y2 = -2x2
A soma desses vetores é (x1+x2,;y1+y2). Note que
y1 + y2 = -2x1 + (-2x2) = -2(x1 + x2),
logo (x1+x2,;y1+y2)in S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja alphainR e (x,y)in S. Como y=-2x, ao multiplicar por alpha obtemos o vetor
(alpha x,;alpha y). Verificamos
alpha y = alpha(-2x) = -2(alpha x),
portanto (alpha x,;alpha y)in S.

Resposta

S é subespaço vetorial de R^2.

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