Prove que
é LD quaisquer que sejam os vetores
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer vetores
em um espaço vetorial, os três vetores
são linearmente dependentes. O conteúdo é definição de dependência linear: precisamos encontrar escalares
, não todos zero, tais que
Passo 2
Escrevemos a combinação geral e agrupamos termos em
:
Isto implica, coletando coeficientes,
Como
são arbitrários, cada coeficiente deve ser zero, gerando um sistema.
Passo 3
O sistema para
é
Vamos resolver por substituição.
Passo 4
Da primeira equação
Substituindo na terceira:
Então
Verifica-se que esses valores também satisfazem a segunda equação. Como podemos escolher
cneq0 , obtemos uma solução não trivial
(a,b,c)=(3,-2,1) .
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes, pois