Prove que (u-2 v+w, 2 u+v+3 w, u+8 v+3 w) é LD quaisquer que sejam os vetores u, v, w.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer vetores u,v,w em um espaço vetorial, os três vetores
a=u-2v+w, b=2u+v+3w, c=u+8v+3w
são linearmente dependentes. O conteúdo é definição de dependência linear: precisamos encontrar escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a,a+b,b+c,c=0

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e agrupamos termos em u,v,w:
a(u-2v+w)+b(2u+v+3w)+c(u+8v+3w)=0
Isto implica, coletando coeficientes,
(a+2b+c),u+(-2a+b+8c),v+(a+3b+3c),w=0
Como u,v,w são arbitrários, cada coeficiente deve ser zero, gerando um sistema.

Passo 3

O sistema para a,b,c é
a+2b+c=0, -2a+b+8c=0, a+3b+3c=0
Vamos resolver por substituição.

Passo 4

Da primeira equação
a=-2b-c
Substituindo na terceira:
(-2b-c)+3b+3c=0Longrightarrow b+2c=0Longrightarrow b=-2c
Então
a=-2(-2c)-c=4c-c=3c
Verifica-se que esses valores também satisfazem a segunda equação. Como podemos escolher cneq0, obtemos uma solução não trivial (a,b,c)=(3,-2,1).

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois
3(u-2v+w) -2(2u+v+3w) +1(u+8v+3w) =0

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