Chamamos de velocidade de escape da gravidade de um corpo celeste a menor velocidade que uma massa, estando na superfície do corpo, tem que ter para conseguir escapar de sua atração gravitacional. A velocidade de escape da gravidade de um corpo celeste esférico é calculada segundo v esc =raiz2 G MR, com G a constante gravitacional universal, M a massa do corpo celeste e R o seu raio. Para a Terra, v esc , ѣ =11,19 km / sѣ; para a Lua, v esc , comp<=ment=2,38 km / s, e para o Sol, v esc , odot=617,5 km / s. Um corpo celeste só consegue manter uma atmosfera de uma determinada espécie química se a velocidade quadrática média térmica vRMS da espécie química for bem inferior à velocidade de escape do corpo celeste, de forma a tornar negligenciável a probabilidade de escape de moléculas. Tipicamente, para que a atmosfera seja estável em uma escala de tempo astronômica, devemos ter v RMS <=sssim v esc / 10. Calcule qual a massa molar mínima de uma espécie química para que ela esteja presente na superfície de cada um dos corpos (Terra, Lua, Sol) de forma estável, supondo uma temperatura média para a atmosfera da Terra e da Lua de 0^circ C, e para o Sol de 6500 K. A partir deste cálculo, diga quais espécies químicas estariam presentes de forma estável na atmosfera da Terra, da Lua e do Sol entre as seguintes: H2, He, N2 e O2, de massas molares respectivas 2 g / mol, 4 g / mol, 28 g / mol e 32 g / mol (no Sol, dada a alta temperatura, os gases diatômicos estariam na verdade dissociados). (A resposta é conhecida: N2 e O2 são estáveis na Terra, enuanto o He está no limite da estabilidade, em um equilíbrio dinâmico entre He que é constantemente perdido pela Terra e He que escapa constantemente para o espaço; a Lua não tem atmosfera, logo nenhum elemento deve ser estável ali; e o Sol retém todos os elementos).

Passo 1

O enunciado define a velocidade de escape de um corpo esférico como
vesc = raiz2GMR
e diz que uma espécie química só permanece no corpo se sua velocidade quadrática média térmica
vRMS = raiz3RTMm
for bem inferior a vesc, tipicamente vRMS<=sssim vesc/10.
Aqui o conteúdo é cinética molecular (teoria cinética dos gases) e precisamos usar
vRMS <= vesc10
para determinar a massa molar mínima Mm,min.

Passo 2

A condição
raiz3RTMm;<=;vesc10
eleva-se ao quadrado e isola-se Mm:
3RTMm <= vesc^2100 Longrightarrow Mm >= 300,R,Tvesc^2
Chamamos este valor de
Mm,min = 300,R,Tvesc^2

Passo 3

Para Terra e Lua tomamos ,K.
Constante dos gases ,J/(mol·K).
Terra: ,km/s ,m/s.
Logo só moléculas com massa molar ,g/mol ficam estáveis.
Lua: ,km/s ,m/s.
Nenhuma das espécies dadas atinge 120 g/mol, logo a Lua não retém atmosfera estável.

Passo 4

Para o Sol tomamos T=6500,K e vesc,odot=617,5,km/s =6,175times10^5,m/s.
Mm,min,odot = 300cdot8,314cdot6500(6,175times10^5)^2 approx 4,3times10^-5,kg/mol =0,043;g/mol
Como todas as espécies listadas têm massa molar muito maior que 0,043 g/mol, o Sol as retém.

Resposta

Terra: apenas N2 (28 g/mol) e O2 (32 g/mol) são estáveis (o He fica no limite dinâmico e H2 escapa).
Lua: nenhuma espécie (nenhuma atinge 120 g/mol).
Sol: todas ( H2, He, N2 e O2) seriam retidas.

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