Chamamos de velocidade de escape da gravidade de um corpo celeste a menor velocidade que uma massa, estando na superfície do corpo, tem que ter para conseguir escapar de sua atração gravitacional. A velocidade de escape da gravidade de um corpo celeste esférico é calculada segundo
, com
a constante gravitacional universal,
a massa do corpo celeste e
o seu raio. Para a Terra,
; para a Lua,
, e para o Sol,
. Um corpo celeste só consegue manter uma atmosfera de uma determinada espécie química se a velocidade quadrática média térmica
da espécie química for bem inferior à velocidade de escape do corpo celeste, de forma a tornar negligenciável a probabilidade de escape de moléculas. Tipicamente, para que a atmosfera seja estável em uma escala de tempo astronômica, devemos ter
. Calcule qual a massa molar mínima de uma espécie química para que ela esteja presente na superfície de cada um dos corpos (Terra, Lua, Sol) de forma estável, supondo uma temperatura média para a atmosfera da Terra e da Lua de
, e para o Sol de 6500 K. A partir deste cálculo, diga quais espécies químicas estariam presentes de forma estável na atmosfera da Terra, da Lua e do Sol entre as seguintes:
e
, de massas molares respectivas
e
(no Sol, dada a alta temperatura, os gases diatômicos estariam na verdade dissociados). (A resposta é conhecida:
e
são estáveis na Terra, enuanto o He está no limite da estabilidade, em um equilíbrio dinâmico entre He que é constantemente perdido pela Terra e He que escapa constantemente para o espaço; a Lua não tem atmosfera, logo nenhum elemento deve ser estável ali; e o Sol retém todos os elementos).
Passo 1
O enunciado define a velocidade de escape de um corpo esférico como
e diz que uma espécie química só permanece no corpo se sua velocidade quadrática média térmica
for bem inferior a
, tipicamente
.
Aqui o conteúdo é cinética molecular (teoria cinética dos gases) e precisamos usar
Aqui o conteúdo é cinética molecular (teoria cinética dos gases) e precisamos usar
para determinar a massa molar mínima
.
Passo 2
A condição
eleva-se ao quadrado e isola-se
:
Chamamos este valor de
Passo 3
Para Terra e Lua tomamos
,K.
Constante dos gases ,J/(mol·K).
Constante dos gases
Terra:
,km/s
,m/s.
Logo só moléculas com massa molar
,g/mol ficam estáveis.
Lua: ,km/s
,m/s.
Nenhuma das espécies dadas atinge 120 g/mol, logo a Lua não retém atmosfera estável.
Passo 4
Para o Sol tomamos
,K e
,km/s
,m/s.
Como todas as espécies listadas têm massa molar muito maior que 0,043 g/mol, o Sol as retém.
Resposta
Terra: apenas
(28 g/mol) e
(32 g/mol) são estáveis (o
fica no limite dinâmico e
escapa).
Lua: nenhuma espécie (nenhuma atinge 120 g/mol).
Sol: todas ( ,
,
e
) seriam retidas.
Lua: nenhuma espécie (nenhuma atinge 120 g/mol).
Sol: todas (