Chamaremos de convolução entre duas funções contínuas por partes em [0,+\infty) a
f * g=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau
(a) Mostre que a convolução é comutativa.
(b) Mostre que a convolução é associativa.
(c) Determine a convolução das funções a seguir:
i. f(t)=1 e g(t)=t^{4}
ii. f(t)=t e g(t)=\sin t

Passo 1

O enunciado define a convolução de duas funções contínuas por partes em [0,+\infty) por
f * g=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Pede-se:
  • (a) Mostrar que a convolução é comutativa (ou seja, f*g=g*f).
  • (b) Mostrar que a convolão é associativa (ou seja, f*(g*h)=(f*g)*h).
  • (c) Calcular explicitamente duas convoluções:
    i. f(t)=1 e g(t)=t^{4}.
    ii. f(t)=t e g(t)=\sin t.
Informações relevantes dadas:
  • A definição da convolução (a integral de 0 a t de f(\tau)g(t-\tau) em \tau).
  • As funções envolvidas em (c) são contínuas por partes em [0,\infty), logo as integrais são bem-definidas.
    Não se resolve nada ainda — apenas listei o que o problema pede e o que foi dado.

Passo 2

Prova da comutatividade: vamos mostrar que para todo t\ge0
\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} g(\tau)\,f(t-\tau)\,d\tau.
Explicação do método (mudança de variável): na integral à esquerda fazemos a substituição \displaystyle u=t-\tau. Então \tau=t-u e d\tau=-du. Quando \tau varia de 0 a t, u varia de t a 0. Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau = \int_{t}^{0} f(t-u)\,g(u)\,(-du) = \int_{0}^{t} f(t-u)\,g(u)\,du.
Agora basta trocar o nome da variável de integração u por \tau (isso é apenas notacional) para obter
\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau.
Finalmente, usando que a multiplicação é comutativa dentro do integrando (i.e. f(t-\tau)g(\tau)=g(\tau)f(t-\tau)), reconhecemos a expressão da convolução trocando f e g:
\int_{0}^{t} g(\tau)\,f(t-\tau)\,d\tau = g * f (t).
Portanto f*g=g*f para todo t\ge0. Justificativa técnica rápida: a substituição é válida porque as funções são contínuas por partes e o intervalo [0,t] é compacto, então a integral e a mudança de variável são legais.

Passo 3

Comentário didático sobre a fórmula usada na Passo 2: a mudança de variável em uma integral definida é uma ferramenta que troca a variável de integração de forma bijetiva no intervalo, atualiza os limites e o diferencial conforme d\tau = (d\tau/du)\,du. Aqui tivemos u=t-\tau com derivada -1, o que inverteu os limites e introduziu o sinal negativo; ao inverter os limites novamente recuperamos o sinal positivo. Isso é algo que você pode fazer rapidamente na prova para reorganizar integrais com a forma g(t-\tau).

Passo 4

Prova da associatividade: queremos provar que, para todo t\ge0,
f*(g*h)(t) = (f*g)*h(t).
Começamos calculando f*(g*h)(t) usando a definição:
f*(g*h)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,(g*h)(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t} f(\tau)\left[\int_{0}^{\,t-\tau} g(\sigma)\,h(t-\tau-\sigma)\,d\sigma\right]d\tau.
Portanto obtivemos uma integral dupla
\int_{0}^{t}\int_{0}^{\,t-\tau} f(\tau)\,g(\sigma)\,h(t-\tau-\sigma)\,d\sigma\,d\tau.
Explico a região de integração: o par (\tau,\sigma) varia no triângulo
D=\{(\tau,\sigma)\mid 0\le\tau\le t,\;0\le\sigma\le t-\tau\}.
As funções são contínuas por partes em um domínio compacto, então podemos trocar a ordem de integração (teorema de Fubini para funções contínuas em regiões limitadas). Invertendo a ordem, \sigma varia de 0 a t e, para cada \sigma, \tau varia de 0 a t-\sigma. Assim a integral fica
\int_{0}^{t}\int_{0}^{\,t-\sigma} f(\tau)\,g(\sigma)\,h(t-\tau-\sigma)\,d\tau\,d\sigma.

Passo 5

Continuamos a partir da integral com ordem trocada. Na expressão anterior podemos tirar g(\sigma) para fora da integral em \tau (pois não depende de \tau):
\int_{0}^{t} g(\sigma)\left[\int_{0}^{\,t-\sigma} f(\tau)\,h(t-\sigma-\tau)\,d\tau\right]d\sigma.
Mas o termo entre colchetes é justamente a convolução (f*h)(t-\sigma), porque é \int_{0}^{t-\sigma} f(\tau)\,h((t-\sigma)-\tau)\,d\tau. Logo
f*(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\sigma)\,(f*h)(t-\sigma)\,d\sigma.
Usando a comutatividade já provada, isso é igual a
\int_{0}^{t} (f*h)(\sigma)\,g(t-\sigma)\,d\sigma = (f*h)*g(t).
Agora repetimos o mesmo raciocínio trocando a ordem dos fatores: aplicando a anterior troca de papéis (ou repetindo o cálculo para (f*g)*h) obtemos a mesma expressão integrada sobre o mesmo domínio. Portanto todas as formas coincidem e temos
f*(g*h)=(f*g)*h.
Conclusão: a convolução é associativa. Comentário: na prova formal usamos mudança de ordem de integração justificada pela continuidade por partes e pelo fato de a região ser compacta (triângulo finito).

Passo 6

Cálculo do item (c) i: f(t)=1 e g(t)=t^{4}.
Aplicamos a definição:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t} 1\cdot (t-\tau)^{4}\,d\tau.
Fazemos a mudança de variável u=t-\tau. Então du=-d\tau e, trocando os limites, obtemos
\int_{0}^{t} (t-\tau)^{4}\,d\tau = \int_{t}^{0} u^{4}(-du) = \int_{0}^{t} u^{4}\,du.
Usamos a regra de potências para integrais: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C (válida para n\neq-1). Com n=4,
\int_{0}^{t} u^{4}\,du = \left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{t} = \frac{t^{5}}{5}.
Portanto
(f*g)(t)=\frac{t^{5}}{5}.

Passo 7

Cálculo do item (c) ii: f(t)=t e g(t)=\sin t.
Começamos aplicando a definição:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} \tau\,\sin(t-\tau)\,d\tau.
Uma identidade trigonométrica útil é \displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b. Aplicamos com a=t e b=\tau:
\sin(t-\tau)=\sin t\cos\tau - \cos t\sin\tau.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{t} \tau\sin(t-\tau)\,d\tau = \int_{0}^{t} \tau\big(\sin t\cos\tau - \cos t\sin\tau\big)\,d\tau.
Separemos em duas integrais (lembrando que \sin t e \cos t são constantes em relação a \tau):
\sin t\int_{0}^{t} \tau\cos\tau\,d\tau \;-\; \cos t\int_{0}^{t} \tau\sin\tau\,d\tau.
Agora calculamos as duas integrais por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du.
  1. Calcule \displaystyle \int_{0}^{t}\tau\cos\tau\,d\tau.
    Escolhemos u=\tau (então du=d\tau) e dv=\cos\tau\,d\tau (então v=\sin\tau). Assim
\int \tau\cos\tau\,d\tau = \tau\sin\tau - \int \sin\tau\,d\tau = \tau\sin\tau + \cos\tau + C.
Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t}\tau\cos\tau\,d\tau = \big(\,t\sin t + \cos t\,\big) - \big(\,0\cdot0 + \cos 0\,\big) = t\sin t + \cos t - 1.
  1. Calcule \displaystyle \int_{0}^{t}\tau\sin\tau\,d\tau.
    Escolhemos u=\tau e dv=\sin\tau\,d\tau (então v=-\cos\tau). Logo
\int \tau\sin\tau\,d\tau = -\tau\cos\tau + \int \cos\tau\,d\tau = -\tau\cos\tau + \sin\tau + C.
Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t}\tau\sin\tau\,d\tau = \big(\,-t\cos t + \sin t\,\big) - \big(\,0 + 0\,\big) = -t\cos t + \sin t.
Agora substituímos esses resultados na expressão anterior:
(f*g)(t)=\sin t\big(t\sin t + \cos t - 1\big) - \cos t\big(-t\cos t + \sin t\big).
Desenvolvendo:
= t\sin^{2}t + \sin t\cos t - \sin t + t\cos^{2}t - \sin t\cos t.
Observe que \sin t\cos t cancela com -\sin t\cos t. Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
(f*g)(t)=t(\sin^{2}t+\cos^{2}t) - \sin t = t - \sin t.
Portanto
(f*g)(t)=t-\sin t.

Resposta

(a) \,f*g=g*f\,\n(b) \,f*(g*h)=(f*g)*h\,\n(c.i) \,(1 * t^{4})(t)=\dfrac{t^{5}}{5}\,\n(c.ii) \,(t * \sin t)(t)=t-\sin t

Exercícios relacionados