Chamaremos de convolução entre duas funções contínuas por partes em
a
(a) Mostre que a convolução é comutativa.
(b) Mostre que a convolução é associativa.
(c) Determine a convolução das funções a seguir:
i.
e
ii.
e
(b) Mostre que a convolução é associativa.
(c) Determine a convolução das funções a seguir:
i.
ii.
Passo 1
O enunciado define a convolução de duas funções contínuas por partes em
por
Pede-se:
- (a) Mostrar que a convolução é comutativa (ou seja,
). - (b) Mostrar que a convolão é associativa (ou seja,
). - (c) Calcular explicitamente duas convoluções:
i.e .
ii.e .
Informações relevantes dadas:
- A definição da convolução (a integral de
a de em ). - As funções envolvidas em (c) são contínuas por partes em
, logo as integrais são bem-definidas.
Não se resolve nada ainda — apenas listei o que o problema pede e o que foi dado.
Passo 2
Prova da comutatividade: vamos mostrar que para todo
Explicação do método (mudança de variável): na integral à esquerda fazemos a substituição
. Então
e
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Aplicando a substituição na integral:
Agora basta trocar o nome da variável de integração
por
(isso é apenas notacional) para obter
Finalmente, usando que a multiplicação é comutativa dentro do integrando (i.e.
), reconhecemos a expressão da convolução trocando
e
:
Portanto
para todo
. Justificativa técnica rápida: a substituição é válida porque as funções são contínuas por partes e o intervalo
é compacto, então a integral e a mudança de variável são legais.
Passo 3
Comentário didático sobre a fórmula usada na Passo 2: a mudança de variável em uma integral definida é uma ferramenta que troca a variável de integração de forma bijetiva no intervalo, atualiza os limites e o diferencial conforme
. Aqui tivemos
com derivada
, o que inverteu os limites e introduziu o sinal negativo; ao inverter os limites novamente recuperamos o sinal positivo. Isso é algo que você pode fazer rapidamente na prova para reorganizar integrais com a forma
.
Passo 4
Prova da associatividade: queremos provar que, para todo
,
Começamos calculando
usando a definição:
Portanto obtivemos uma integral dupla
Explico a região de integração: o par
varia no triângulo
As funções são contínuas por partes em um domínio compacto, então podemos trocar a ordem de integração (teorema de Fubini para funções contínuas em regiões limitadas). Invertendo a ordem,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Assim a integral fica
Passo 5
Continuamos a partir da integral com ordem trocada. Na expressão anterior podemos tirar
para fora da integral em
(pois não depende de
):
Mas o termo entre colchetes é justamente a convolução
, porque é
. Logo
Usando a comutatividade já provada, isso é igual a
Agora repetimos o mesmo raciocínio trocando a ordem dos fatores: aplicando a anterior troca de papéis (ou repetindo o cálculo para
) obtemos a mesma expressão integrada sobre o mesmo domínio. Portanto todas as formas coincidem e temos
Conclusão: a convolução é associativa. Comentário: na prova formal usamos mudança de ordem de integração justificada pela continuidade por partes e pelo fato de a região ser compacta (triângulo finito).
Passo 6
Cálculo do item (c) i:
e
.
Aplicamos a definição:
Fazemos a mudança de variável
. Então
e, trocando os limites, obtemos
Usamos a regra de potências para integrais:
(válida para
). Com
,
Portanto
Passo 7
Cálculo do item (c) ii:
e
.
Começamos aplicando a definição:
Uma identidade trigonométrica útil é
. Aplicamos com
e
:
Substituindo na integral:
Separemos em duas integrais (lembrando que
e
são constantes em relação a
):
Agora calculamos as duas integrais por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
.
- Calcule
.
Escolhemos(então ) e (então ). Assim
Avaliando de
a
:
- Calcule
.
Escolhemose (então ). Logo
Avaliando de
a
:
Agora substituímos esses resultados na expressão anterior:
Desenvolvendo:
Observe que
cancela com
. Usando
obtemos
Portanto
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c.i)
\n(c.ii)