Sob condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque de 2,4 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} no eixo A B. Sabendo que cada um dos eixos tem seção cheia, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo A B.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo A B. Informações relevantes tiradas do enunciado e da figura:
  • O motor aplica um torque em A de 2{,}4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Na figura há torques resistentes aplicados nos discos: T_B=1{,}2\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}, T_C=0{,}8\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} e T_D=0{,}4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} (dados obtidos da imagem).
  • Cada eixo tem seção cheia (eixo maciço circular).
  • O diâmetro do trecho A B é 54\\ \mathrm{mm} (valor obtido da imagem).
  • A pergunta é somente a tensão de cisalhamento máxima no eixo A B (valor numérico).

Passo 2

Qual método vamos usar (explicando sem jargões): para eixos circulares maciços submetidos a torque usamos a fórmula da tensão de cisalhamento por torção. Essa fórmula relaciona o torque interno T que atravessa a seção com a rigidez geométrica da seção (momento de inércia polar J) e com a distância máxima até a superfície ( c). Vou usar a fórmula padrão
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
porque o eixo é circular e maciço e a tensão máxima de cisalhamento ocorre na superfície do eixo. Não há necessidade de métodos mais complicados aqui. Vou também explicar cada símbolo quando usar as fórmulas.

Passo 3

Determinar o torque interno atuando no trecho A B. Pensamento físico: o motor em A aplica 2{,}4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} e os torques resistidos T_B,T_C,T_D estão localizados à direita do ponto B. Portanto, em qualquer seção do eixo entre A e B o torque interno é justamente o torque fornecido pelo motor, isto é:
T_{AB}=2{,}4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
(Observação útil: os torques T_B+T_C+T_D=1{,}2+0{,}8+0{,}4=2{,}4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}, então o motor equilibra exatamente as resistências, como esperado.)

Passo 4

Apresentar a fórmula e explicar cada termo:
  • T é o torque interno na seção (unidade \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm} ou \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}).
  • c é a distância do centro até a superfície (para círculo maciço c=d/2, em \mathrm{mm}).
  • J é o momento polar de inércia da seção; para um eixo circular maciço:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} obtemos a forma prática para eixo maciço:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Essa forma é muito conveniente porque usa só o torque T e o diâmetro d.

Passo 5

Converter unidades e calcular numericamente passo a passo:
  • Converter o torque para unidades compatíveis com d em \mathrm{mm}. Temos
T_{AB}=2{,}4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=2{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=2{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  • O diâmetro do eixo A B (da figura) é d=54\\ \mathrm{mm}.
  • Usamos a fórmula simplificada:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Calcule d^{3}:
d^{3}=54^{3}=157\,464\\ \mathrm{mm}^{3}.
Agora calcular \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{16\cdot(2{,}4\times10^{6})}{\pi\cdot157\,464}.
Fazendo as contas (mostrando o raciocínio numérico):
\text{numerador}=16\cdot2{,}4\times10^{6}=38{,}4\times10^{6},
\text{denominador}\approx\pi\cdot157\,464\approx494\,699.
Portanto
\tau_{\max}\approx\frac{38{,}4\times10^{6}}{494\,699}\approx77{,}6\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Unidade \mathrm{N/mm^{2}} é igual a \mathrm{MPa}, então \tau_{\max}\approx77{,}6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície do eixo A B e o valor calculado tem sentido físico (ordem de grandeza típica para eixos de diâmetro dessa ordem). Conferi unidades e a soma dos torques resistidos é igual ao torque aplicado, o que confirma a consistência do diagrama de torques.

Resposta

\tau_{\max}=77{,}6\\ \mathrm{MPa}

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