Mostre, utilizando a definição, o Primeiro e o Segundo Teorema de Translação.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar, usando a definição, o Primeiro e o Segundo Teorema de Translação.
Informações/hipóteses dadas (o que podemos usar sem provar aqui): uma função \,f(t)\, que é integrável o suficiente para que a integral abaixo exista, e a definição (direta) da transformada de f:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Na expressão acima: \,t\, é a variável do domínio (pense em “tempo”), \,\omega\, é a variável da transformada (pense em “frequência”) e \,i\, é a unidade imaginária ( i^2=-1). A missão é derivar, a partir dessa definição, as duas fórmulas de translação (uma para deslocamento no domínio, outra para multiplicação por exponencial).

Passo 2

Primeiro Teorema de Translação (deslocamento no tempo). Começamos definindo uma função deslocada:
g(t)=f(t-t_0),
onde \,t_0\in\mathbb{R}\, é o deslocamento. Queremos calcular a transformada de \,g(t),

Passo 3

Aplicamos diretamente a definição da transformada à função deslocada:
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty} f(t-t_0)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Agora fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja \,u=t-t_0. Então \,t=u+t_0\, e \,dt=du. Quando t percorre (-\infty,\infty), u também percorre (-\infty,\infty), portanto os limites não mudam.

Passo 4

Substituindo \,t=u+t_0\, na integral:
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\,e^{-i\omega (u+t_0)}\,du.
Agora usamos uma propriedade simples de exponenciais: \,e^{-i\omega(u+t_0)}=e^{-i\omega u}\,e^{-i\omega t_0}. O fator que depende apenas de \,\omega e \,t_0\, pode ser tirado da integral:
G(\omega)=e^{-i\omega t_0}\int_{-\infty}^{\infty} f(u)\,e^{-i\omega u}\,du.
Mas a integral que aparece é exatamente \,F(\omega)\, pela definição. Logo,
\boxed{G(\omega)=e^{-i\omega t_0}F(\omega).}
Interpretação prática: deslocar f no domínio por t_0 corresponde a multiplicar sua transformada por um fator de fase dependente de \,\omega.

Passo 5

Pequena observação didática sobre a mudança de variável: mudar t para u=t-t_0 é um procedimento padrão em integrais. A razão pela qual podemos simplesmente “trocar de letra” é que a integral é sobre toda a reta e a medida \,dt\, é invariável por translação; por isso os limites continuam -\infty e +\infty. Também explicando a parte algébrica: fatorar \,e^{-i\omega t_0}\, é permitido porque não depende da variável de integração ( u).

Passo 6

Segundo Teorema de Translação (modulação no tempo / deslocamento na frequência). Definimos agora
h(t)=e^{i\omega_0 t}f(t),
onde \,\omega_0\in\mathbb{R}\, é uma frequência de modulação. Calculamos a transformada de h,
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,e^{-i\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega_0 t}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.

Passo 7

No integrando juntamos as exponenciais (propriedade básica de potências):
e^{i\omega_0 t}e^{-i\omega t}=e^{-i(\omega-\omega_0)t}.
Portanto
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i(\omega-\omega_0)t}\,dt.
Na expressão acima reconhecemos a definição da transformada de f, avaliada na frequência \,\omega-\omega_0. Assim
\boxed{H(\omega)=F(\omega-\omega_0).}
Interpretação prática: multiplicar f(t) por \,e^{i\omega_0 t}\, desloca a sua transformada ao longo do eixo da frequência por \,\omega_0.

Passo 8

Comentário sobre hipóteses de validade (quando podemos fazer essas operações): precisamos que \,f\, seja tal que as integrais definidoras existam (por exemplo f\in L^1(\mathbb{R}) ou outras condições de integrabilidade/temperança adequadas). As mudanças algébricas e a mudança de variável são legais sob essas hipóteses pois preservam a convergência absoluta ou a convergência condicionada sob as hipóteses usuais em transformadas integrais.

Passo 9

Exemplos rápidos e intuição:
  • Exemplo rápido para o Primeiro Teorema: se f(t)=\delta(t) (impulso), então F(\omega)=1. A função deslocada \delta(t-t_0) tem transformada e^{-i\omega t_0}, que é exatamente a fórmula e^{-i\omega t_0}F(\omega).
  • Exemplo rápido para o Segundo Teorema: se f(t) tem espectro concentrado em torno de zero, então e^{i\omega_0 t}f(t) tem espectro deslocado para ficar concentrado em torno de \omega_0; isso é útil para modular sinais em comunicações.

Resposta

\mathcal{F}\{f(t-t_0)\}=e^{-i\omega t_0}F(\omega)\n
\mathcal{F}\{e^{i\omega_0 t}f(t)\}=F(\omega-\omega_0)

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