Mostre, utilizando a definição, o Primeiro e o Segundo Teorema de Translação.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar, usando a definição, o Primeiro e o Segundo Teorema de Translação.
Informações/hipóteses dadas (o que podemos usar sem provar aqui): uma função que é integrável o suficiente para que a integral abaixo exista, e a definição (direta) da transformada de
:
Informações/hipóteses dadas (o que podemos usar sem provar aqui): uma função
Na expressão acima:
é a variável do domínio (pense em “tempo”),
é a variável da transformada (pense em “frequência”) e
é a unidade imaginária (
). A missão é derivar, a partir dessa definição, as duas fórmulas de translação (uma para deslocamento no domínio, outra para multiplicação por exponencial).
Passo 2
Primeiro Teorema de Translação (deslocamento no tempo). Começamos definindo uma função deslocada:
onde
é o deslocamento. Queremos calcular a transformada de
,
Passo 3
Aplicamos diretamente a definição da transformada à função deslocada:
Agora fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
. Então
e
. Quando
percorre
,
também percorre
, portanto os limites não mudam.
Passo 4
Substituindo
na integral:
Agora usamos uma propriedade simples de exponenciais:
. O fator que depende apenas de
e
pode ser tirado da integral:
Mas a integral que aparece é exatamente
pela definição. Logo,
Interpretação prática: deslocar
no domínio por
corresponde a multiplicar sua transformada por um fator de fase dependente de
.
Passo 5
Pequena observação didática sobre a mudança de variável: mudar
para
é um procedimento padrão em integrais. A razão pela qual podemos simplesmente “trocar de letra” é que a integral é sobre toda a reta e a medida
é invariável por translação; por isso os limites continuam
e
. Também explicando a parte algébrica: fatorar
é permitido porque não depende da variável de integração (
).
Passo 6
Segundo Teorema de Translação (modulação no tempo / deslocamento na frequência). Definimos agora
onde
é uma frequência de modulação. Calculamos a transformada de
,
Passo 7
No integrando juntamos as exponenciais (propriedade básica de potências):
Portanto
Na expressão acima reconhecemos a definição da transformada de
, avaliada na frequência
. Assim
Interpretação prática: multiplicar
por
desloca a sua transformada ao longo do eixo da frequência por
.
Passo 8
Comentário sobre hipóteses de validade (quando podemos fazer essas operações): precisamos que
seja tal que as integrais definidoras existam (por exemplo
ou outras condições de integrabilidade/temperança adequadas). As mudanças algébricas e a mudança de variável são legais sob essas hipóteses pois preservam a convergência absoluta ou a convergência condicionada sob as hipóteses usuais em transformadas integrais.
Passo 9
Exemplos rápidos e intuição:
- Exemplo rápido para o Primeiro Teorema: se
(impulso), então . A função deslocada tem transformada , que é exatamente a fórmula . - Exemplo rápido para o Segundo Teorema: se
tem espectro concentrado em torno de zero, então tem espectro deslocado para ficar concentrado em torno de ; isso é útil para modular sinais em comunicações.