Seja f(t) uma função tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Suponha agora que f(t) é de classe C^{\infty} por partes em [0,+\infty).
(a) Calcule \mathcal{L}\left\{\frac{d}{d t} f(t)\right\}. Utilize o resultado anterior para calcular \mathcal{L}\{k t \cos (k t)+\sin (k t)\}.
(b) Calcule \mathcal{L}\left\{\frac{d^{2}}{d t} f(t)\right\}. Utilize este resultado par determinar \mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}}{d t} f(t)\right\}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
Informação: \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Além disso, f(t) é de classe C^{\infty} por partes em [0,+\infty) (logo as derivadas até onde precisar existem quase sempre e as transformadas de Laplace fazem sentido para s suficientemente grande).
Análise do termo na fronteira t\to\infty: como \mathcal{L}\{f\}=F(s) existe para s grande o suficiente, f(t) é de ordem exponencial e o produto e^{-s t}f(t)\to 0 quando t\to\infty (para s suficientemente grande). Portanto\left.e^{-s t} f(t)\right|_{0}^{\infty} = 0 - f(0).
Uso prático: esta fórmula é bem prática quando aparece t multiplicando uma função conhecida (como \sin ou \cos).
Passo 4
Calcular \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\} usando os resultados anteriores.
Observação: noto que a função dentro da transformada é derivada de uma função simples. De fato,\frac{d}{dt}\big(t\sin(k t)\big) = \sin(k t) + t\cdot k\cos(k t) = k t\cos(k t)+\sin(k t).Ou seja, a função dada é f'(t) com f(t)=t\sin(k t).
Derivo:\frac{d}{ds}\left(\frac{k}{s^{2}+k^{2}}\right) = k\cdot \frac{d}{ds}\big((s^{2}+k^{2})^{-1}\big) = k\cdot (-1)\cdot 2s\,(s^{2}+k^{2})^{-2} = -\frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.Portanto\mathcal{L}\{t\sin(k t)\} = -\left(-\frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}}\right)=\frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.
Finalmente,\mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\} = s\cdot \frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}} = \frac{2 k s^{2}}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.
Posso cheimar metade do caminho observando que também daria o mesmo calculando separadamente \mathcal{L}\{k t\cos(k t)\} e \mathcal{L}\{\sin(k t)\} e somando — o resultado coincide.
Passo 5
Derivar a fórmula para \mathcal{L}\{f''(t)\}.
Começo da definição:\mathcal{L}\{f''(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t} f''(t)\,dt.
Faço integração por partes como antes, tomando u=e^{-s t}, dv=f''(t)\,dt. Então v=f'(t) e du=-s e^{-s t}\,dt. Assim\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f''(t)\,dt = \left.e^{-s t} f'(t)\right|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt.
O termo de fronteira em t\to\infty é zero pelo mesmo motivo anterior (decaimento exponencial), e em t=0 dá -f'(0). Portanto\mathcal{L}\{f''(t)\} = -f'(0) + s\mathcal{L}\{f'(t)\}.
Substituo a fórmula de \mathcal{L}\{f'(t)\} do Passo 2 (sF(s)-f(0)):\mathcal{L}\{f''(t)\} = -f'(0) + s\big(sF(s)-f(0)\big) = s^{2}F(s) - s f(0) - f'(0).
Interpretação: a transformada da segunda derivada dá s^{2} vezes F menos termos envolvendo os dois primeiros valores iniciais.
Passo 6
Generalizar para a n-ésima derivada por indução.
Observação útil (passo recursivo): para qualquer função g(t) com transformada \mathcal{L}\{g\}=G(s) vale\mathcal{L}\{g'(t)\} = s G(s) - g(0).Aplicamos isso com g=f^{(n-1)} para obter a relação recursiva\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s\mathcal{L}\{f^{(n-1)}(t)\} - f^{(n-1)}(0).
Base da indução: para n=1 já provamos \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).
Passo indutivo: suponha verdadeira a fórmula para n-1, ou seja\mathcal{L}\{f^{(n-1)}(t)\} = s^{n-1}F(s) - s^{n-2}f(0) - s^{n-3}f'(0) - \cdots - f^{(n-2)}(0).Então pela relação recursiva\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s\big(s^{n-1}F(s) - s^{n-2}f(0) - \cdots - f^{(n-2)}(0)\big) - f^{(n-1)}(0).Multiplicando,\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0).
Forma compacta: escrevendo em soma,\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^{n}F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{\,n-1-k} f^{(k)}(0).(Aqui f^{(0)}(0) é f(0).)
Isto conclui a dedução para a derivada n-ésima.
Passo 7
Dicas rápidas de prova/exame (curtas e encorajadoras):
Na prova, se pedirem \mathcal{L}\{f^{(n)}\} memorize a fórmula do Passo 6; é rápida de aplicar.
Se aparecer t multiplicando uma função, pense em -\frac{d}{ds} da transformada conhecida.
Se estiver sem tempo, identificar uma função como derivada de outra (como fizemos com t\sin(k t)) costuma economizar cálculo.
Você está indo bem — pratique esses passos algumas vezes com exemplos (ex.: f(t)=t^m e^{at}, f(t)=t\cos bt) e fica automático.