Seja f(t) uma função tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Suponha agora que f(t) é de classe C^{\infty} por partes em [0,+\infty).
(a) Calcule \mathcal{L}\left\{\frac{d}{d t} f(t)\right\}. Utilize o resultado anterior para calcular \mathcal{L}\{k t \cos (k t)+\sin (k t)\}.
(b) Calcule \mathcal{L}\left\{\frac{d^{2}}{d t} f(t)\right\}. Utilize este resultado par determinar \mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}}{d t} f(t)\right\}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Informação: \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Além disso, f(t) é de classe C^{\infty} por partes em [0,+\infty) (logo as derivadas até onde precisar existem quase sempre e as transformadas de Laplace fazem sentido para s suficientemente grande).
  • Pergunta (a1): Calcular \mathcal{L}\left\{\frac{d}{dt}f(t)\right\}.
  • Pergunta (a2): Usar o resultado anterior para calcular \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\}.
  • Pergunta (b1): Calcular \mathcal{L}\left\{\frac{d^{2}}{dt}f(t)\right\}.
  • Pergunta (b2): A partir disso, determinar \mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}}{dt^n}f(t)\right\} (fórmula para derivada n-ésima).
Não começo a resolver ainda, só deixei explícito o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Derivando a fórmula para \mathcal{L}\{f'(t)\} a partir da definição da transformada e usando integração por partes.
  • Definição: por definição
\mathcal{L}\{f'(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt.
  • Integração por partes: uso a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du. Tomo u=e^{-s t}\quad\Rightarrow\quad du=-s e^{-s t}\,dt,
dv=f'(t)\,dt\quad\Rightarrow\quad v=f(t).
Então
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt = \left.e^{-s t} f(t)\right|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
  • Análise do termo na fronteira t\to\infty: como \mathcal{L}\{f\}=F(s) existe para s grande o suficiente, f(t) é de ordem exponencial e o produto e^{-s t}f(t)\to 0 quando t\to\infty (para s suficientemente grande). Portanto \left.e^{-s t} f(t)\right|_{0}^{\infty} = 0 - f(0).
  • Conclusão: juntando, \mathcal{L}\{f'(t)\}= -f(0) + s\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt = sF(s)-f(0).
Explicação curta: a transformada de uma derivada é s vezes a transformada da função menos o valor inicial da função.

Passo 3

Uma ferramenta útil que vou usar no cálculo pedido em (a2): a propriedade de multiplicação por t.
  • Propriedade: para F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} vale \mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s).
  • Prova rápida: diferencio F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt em s: \frac{d}{ds}F(s)=\int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s} \big(e^{-s t}\big) f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} (-t)e^{-s t} f(t)\,dt = -\mathcal{L}\{t f(t)\}.Logo \mathcal{L}\{t f(t)\}=-F'(s).
  • Uso prático: esta fórmula é bem prática quando aparece t multiplicando uma função conhecida (como \sin ou \cos).

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\} usando os resultados anteriores.
  • Observação: noto que a função dentro da transformada é derivada de uma função simples. De fato, \frac{d}{dt}\big(t\sin(k t)\big) = \sin(k t) + t\cdot k\cos(k t) = k t\cos(k t)+\sin(k t).Ou seja, a função dada é f'(t) com f(t)=t\sin(k t).
  • Pela fórmula do Passo 2, \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\} = \mathcal{L}\{(t\sin(k t))'\} = s\mathcal{L}\{t\sin(k t)\} - (t\sin(k t))\big|_{t=0}.Mas (t\sin(k t))\big|_{t=0}=0. Então \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\} = s\mathcal{L}\{t\sin(k t)\}.
  • Agora calculo \mathcal{L}\{t\sin(k t)\} usando \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\}. Primeiro \mathcal{L}\{\sin(k t)\} = \frac{k}{s^{2}+k^{2}}.Logo \mathcal{L}\{t\sin(k t)\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{k}{s^{2}+k^{2}}\right).
  • Derivo: \frac{d}{ds}\left(\frac{k}{s^{2}+k^{2}}\right) = k\cdot \frac{d}{ds}\big((s^{2}+k^{2})^{-1}\big) = k\cdot (-1)\cdot 2s\,(s^{2}+k^{2})^{-2} = -\frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.Portanto \mathcal{L}\{t\sin(k t)\} = -\left(-\frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}}\right)=\frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.
  • Finalmente, \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\} = s\cdot \frac{2 k s}{(s^{2}+k^{2})^{2}} = \frac{2 k s^{2}}{(s^{2}+k^{2})^{2}}.
Posso cheimar metade do caminho observando que também daria o mesmo calculando separadamente \mathcal{L}\{k t\cos(k t)\} e \mathcal{L}\{\sin(k t)\} e somando — o resultado coincide.

Passo 5

Derivar a fórmula para \mathcal{L}\{f''(t)\}.
  • Começo da definição: \mathcal{L}\{f''(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t} f''(t)\,dt.
  • Faço integração por partes como antes, tomando u=e^{-s t}, dv=f''(t)\,dt. Então v=f'(t) e du=-s e^{-s t}\,dt. Assim \int_{0}^{\infty} e^{-s t} f''(t)\,dt = \left.e^{-s t} f'(t)\right|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f'(t)\,dt.
  • O termo de fronteira em t\to\infty é zero pelo mesmo motivo anterior (decaimento exponencial), e em t=0 -f'(0). Portanto \mathcal{L}\{f''(t)\} = -f'(0) + s\mathcal{L}\{f'(t)\}.
  • Substituo a fórmula de \mathcal{L}\{f'(t)\} do Passo 2 ( sF(s)-f(0)): \mathcal{L}\{f''(t)\} = -f'(0) + s\big(sF(s)-f(0)\big) = s^{2}F(s) - s f(0) - f'(0).
Interpretação: a transformada da segunda derivada dá s^{2} vezes F menos termos envolvendo os dois primeiros valores iniciais.

Passo 6

Generalizar para a n-ésima derivada por indução.
  • Observação útil (passo recursivo): para qualquer função g(t) com transformada \mathcal{L}\{g\}=G(s) vale \mathcal{L}\{g'(t)\} = s G(s) - g(0).Aplicamos isso com g=f^{(n-1)} para obter a relação recursiva \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s\mathcal{L}\{f^{(n-1)}(t)\} - f^{(n-1)}(0).
  • Base da indução: para n=1 já provamos \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).
  • Passo indutivo: suponha verdadeira a fórmula para n-1, ou seja \mathcal{L}\{f^{(n-1)}(t)\} = s^{n-1}F(s) - s^{n-2}f(0) - s^{n-3}f'(0) - \cdots - f^{(n-2)}(0).Então pela relação recursiva \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s\big(s^{n-1}F(s) - s^{n-2}f(0) - \cdots - f^{(n-2)}(0)\big) - f^{(n-1)}(0).Multiplicando, \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^{n}F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0).
  • Forma compacta: escrevendo em soma, \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^{n}F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{\,n-1-k} f^{(k)}(0).(Aqui f^{(0)}(0) é f(0).)
Isto conclui a dedução para a derivada n-ésima.

Passo 7

Dicas rápidas de prova/exame (curtas e encorajadoras):
  • Na prova, se pedirem \mathcal{L}\{f^{(n)}\} memorize a fórmula do Passo 6; é rápida de aplicar.
  • Se aparecer t multiplicando uma função, pense em -\frac{d}{ds} da transformada conhecida.
  • Se estiver sem tempo, identificar uma função como derivada de outra (como fizemos com t\sin(k t)) costuma economizar cálculo.
  • Você está indo bem — pratique esses passos algumas vezes com exemplos (ex.: f(t)=t^m e^{at}, f(t)=t\cos bt) e fica automático.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)
\displaystyle \mathcal{L}\{k t\cos(k t)+\sin(k t)\}=\frac{2k s^{2}}{(s^{2}+k^{2})^{2}}
\displaystyle \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0)
\displaystyle \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{\,n-1-k}f^{(k)}(0)

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