Uma chaminé alta, de forma cilíndrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chaminé como um bastão fino, de altura h, expresse
a componente radial da aceleração linear do topo da chaminé, em função do ângulo \theta que ela faz com a vertical, e

Passo 1

O enunciado pede a componente radial da aceleração linear do topo de uma chaminé cilíndrica tratada como um bastão fino de comprimento h, que gira em torno da base sem atrito. Definimos \theta como o ângulo que o bastão faz com a vertical. Para obter a_{\rm r} no topo, vamos (1) usar conservação de energia para achar \omega(\theta) e (2) usar a relação a_{\rm r}= \omega^2\,h.

Passo 2

Aplicando conservação de energia entre a posição vertical inicial ( \theta=0, repouso) e a posição genérica \theta: a variação de energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética de rotação. A massa total da chaminé é m e seu momento de inércia em torno da base é
I = \tfrac{1}{3}\,m\,h^2.
A perda de energia potencial ao girar de 0 até \theta é
\Delta U = m g\Bigl(\tfrac{h}{2}\Bigr)\bigl(1 - \cos\theta\bigr),
porque o centro de massa desce de altura \tfrac{h}{2}(1-\cos\theta). A energia cinética de rotação na posição \theta é
K = \tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\bigl(\tfrac{1}{3}m\,h^2\bigr)\,\omega^2 = \tfrac{1}{6}\,m\,h^2\,\omega^2.
Igualando \Delta U = K resulta
m g\,\tfrac{h}{2}\,(1-\cos\theta) = \tfrac{1}{6}\,m\,h^2\,\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega^2 = \frac{3g}{h}\,\bigl(1 - \cos\theta\bigr).

Passo 3

A componente radial da aceleração linear do ponto mais distante do eixo de rotação (o topo) é dada por
a_{\rm r} \;=\;\omega^2\,r \quad\text{com}\;r = h.
Substituindo \omega^2 obtido no passo anterior, vem
a_{\rm r} = \Bigl(\frac{3g}{h}(1-\cos\theta)\Bigr)\,h = 3g\,(1 - \cos\theta).

Resposta

a_{\rm r}(\theta) = 3\,g\,\bigl(1 - \cos\theta\bigr).

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