Considere a função f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+5.
Detarmাme os números criticos de f.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=3x^4-4x^3+5 e queremos encontrar os números críticos, ou seja, os valores de x em que f'(x)=0 ou em que f' não está definida. Para isso, vamos usar a regra do poder para derivar polinômios e depois resolver a equação f'(x)=0.

Passo 2

Aplicando a regra do poder em cada termo de f(x), obtemos
f'(x)=\bigl(3x^4\bigr)' - \bigl(4x^3\bigr)' + (5)' = 12x^3 - 12x^2 + 0.
Em seguida, fatoramos a expressão:
f'(x)=12x^2(x-1).

Passo 3

Para encontrar os pontos em que f'(x)=0, resolvemos
12x^2(x-1)=0.
Como 12\neq0, isso acontece se e somente se
x^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,
ou
x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 4

Verificamos que f'(x) é um polinômio e, portanto, está definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo, não há pontos onde a derivada deixe de existir.

Resposta

Os números críticos de f são x=0 e x=1.

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