Considere a função f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}+5.
Identifique os intervalos em que f é CC e f é CB .

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=3x^{4}-4x^{3}+5
é côncava para cima (CC) e côncava para baixo (CB). Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada: onde f''(x)>0 temos concavidade para cima, e onde f''(x)<0 temos concavidade para baixo.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivadas de f.
A primeira derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}-4x^{3}+5\bigr) =12x^{3}-12x^{2} =12x^{2}(x-1).
A segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{3}-12x^{2}\bigr) =36x^{2}-24x =12x(3x-2).

Passo 3

Encontramos as raízes de f''(x)=0:
12x(3x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=\tfrac{2}{3}.
Esses valores particionam a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,\tfrac{2}{3}) e (\tfrac{2}{3},\infty). Vamos testar o sinal de f'' em cada um:
  • Para x<0, escolhemos x=-1:
f''(-1)=12\cdot(-1)\bigl(3\cdot(-1)-2\bigr) =12\cdot(-1)\cdot(-5) =60>0.
  • Para 0<x<\tfrac{2}{3}, escolhemos x=\tfrac{1}{3}:
f''\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) =12\cdot\tfrac{1}{3}\bigl(3\cdot\tfrac{1}{3}-2\bigr) =4\cdot(-1) =-4<0.
  • Para x>\tfrac{2}{3}, escolhemos x=1:
f''(1)=12\cdot1\,(3\cdot1-2) =12\cdot1\cdot1 =12>0.

Passo 4

Pelo teste da segunda derivada, concluímos:
  • f''(x)>0 em (-\infty,0)\cup(\tfrac{2}{3},\infty), logo f é côncava para cima (CC) nesses intervalos.
  • f''(x)<0 em (0,\tfrac{2}{3}), logo f é côncava para baixo (CB) nesse intervalo.

Resposta

f é CC em \;(-\infty,0)\cup\bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr);e CB em \;(0,\tfrac{2}{3}).

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