3 - Uma chaminé de tijolos tem 50 cm de altura. Os tijolos têm massa específica \rho=1800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, Módulo de Young E=25 G P a e Índice de Poisson v=0.2 e g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) a tensão de compressão axial na base da chaminé;
b) a deformação axial na base da chaminé;
c) a deformação transversal na base da chaminé
Solução:
a) \sigma=-\frac{F}{A}=-\frac{P e s o}{A}=-\frac{m \cdot g}{A}=-\frac{\rho \cdot V \cdot g}{A}=-\frac{\rho \cdot A \cdot h \cdot g}{A}=-\rho \cdot g \cdot h
\sigma=-1800 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}} \cdot 10 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \cdot 50 \mathrm{~cm} \cdot \frac{1 \mathrm{~m}}{100 \mathrm{~cm}}=-9000 \mathrm{~Pa}
b) \sigma=E \varepsilon \therefore \varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{-9000 P a}{25 \cdot 10^{9} P a}=-3.6 \cdot 10^{-7}
c) \varepsilon_{t}=-v \cdot \varepsilon=(-0.2) *\left(-3.6 \cdot 10^{-7}\right)=7.2 \cdot 10^{-8}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) a tensão de compressão axial na base da chaminé;
b) a deformação axial na base da chaminé;
c) a deformação transversal (lateral) na base da chaminé.
Dados fornecidos (vou listar em termos práticos e já convertendo unidades quando necessário):
\rho=1800\\ \mathrm{kg/m^{3}} (massa específica),
E=25\\ \mathrm{GPa} (Módulo de Young),
v=0,2 (Índice de Poisson),
g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (gravidade),
h=50\\ \mathrm{cm}=0,5\\ \mathrm{m} (altura da chaminé).
Observação: a área da secção transversal A não é dada; isso indica que a tensão devido ao próprio peso pode ficar independente de A (vamos ver isso na conta). Não há figura faltando: temos tudo que precisamos.

Passo 2

Entender fisicamente o que causa a tensão: cada camada de tijolos suporta o peso das camadas acima. Na base a força axial (peso da chaminé) é F=m\cdot g. Vamos relacionar massa com densidade e volume:
Definições e fórmulas usadas:
  • Volume da chaminé: V=A\cdot h, onde A é a área da secção transversal e h a altura. Aqui A é arbitrária (não fornecida).
  • Massa: m=\rho\cdot V=\rho\cdot A\cdot h.
  • Força peso: F=m\cdot g=\rho\cdot A\cdot h\cdot g.
  • Tensões axiais uniformes (força por área): \sigma=\dfrac{F}{A}. Como a força é compressiva na base, usaremos o sinal negativo para tensão compressiva: \sigma=-\dfrac{F}{A}.

Passo 3

Combinar as expressões para eliminar A:
\sigma = -\dfrac{F}{A} = -\dfrac{\rho\cdot A\cdot h\cdot g}{A} = -\rho\cdot g\cdot h.
Explicação: o fato de A cancelar mostra por que a tensão axial produzida pelo próprio peso, para um corpo de seção constante, independe da área da seção.

Passo 4

Agora calculamos numericamente \sigma. Substituindo os valores e lembrando que h=0,5\\ \mathrm{m}:
\sigma = -\rho\cdot g\cdot h = -1800\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 10\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 0,5\\ \mathrm{m}.
Fazendo a multiplicação: 1800\times10\times0,5 = 1800\times5 = 9000. Portanto
\sigma = -9000\\ \mathrm{Pa}.
Comentário didático: a unidade \mathrm{Pa} é \mathrm{N/m^{2}}. O valor é relativamente pequeno porque a chaminé é curta (0,5 m) e a densidade, embora grande, gera pouco peso total.

Passo 5

Passo para obter a deformação axial: usamos a lei de Hooke para regime elástico linear (deformações pequenas):
\sigma = E\cdot\varepsilon,
onde \sigma é a tensão axial (em \mathrm{Pa}), E é o Módulo de Young (em \mathrm{Pa}) e \varepsilon é a deformação axial (adimensional). Assumimos material homogêneo e comportamento linear elástico — hipótese padrão para cálculo simples de pequenas deformações.
Isolando \varepsilon:
\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E}.

Passo 6

Calculemos numericamente \varepsilon. Primeiro escrevemos E em \mathrm{Pa}: E=25\\ \mathrm{GPa}=25\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}. Substituindo:
\varepsilon = \dfrac{-9000\\ \mathrm{Pa}}{25\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}}.
Fazendo a divisão: \dfrac{9000}{25\cdot10^{9}}=\dfrac{9\cdot10^{3}}{2,5\cdot10^{10}}=3,6\cdot10^{-7}. Mantendo o sinal:
\varepsilon = -3,6\cdot10^{-7}.
Explicação: o sinal negativo indica contração axial (deformação reduzindo o comprimento) devido à compressão. A deformação é adimensional (sem unidades).

Passo 7

Agora a deformação transversal (lateral). Para materiais isotrópicos lineares, a relação de Poisson dá:
\varepsilon_{t} = -v\cdot\varepsilon,
onde v é o índice de Poisson, \varepsilon a deformação axial, e \varepsilon_{t} a deformação lateral (adimensional). Interpretação de sinais: se \varepsilon é negativo (compressão axial), então -v\varepsilon é positivo — ou seja, o corpo tende a alargar lateralmente sob compressão axial.

Passo 8

Calculemos numericamente:
\varepsilon_{t} = -0,2 \times \left(-3,6\cdot10^{-7}\right) = 0,2\times3,6\cdot10^{-7} = 7,2\cdot10^{-8}.
Comentário: \varepsilon_{t} é positivo e muito pequeno; traduz o ligeiro alargamento transversal.

Resposta

a) \sigma = -9000\\ \mathrm{Pa}
b) \varepsilon = -3,6\cdot10^{-7}
c) \varepsilon_{t} = 7,2\cdot10^{-8}

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