3 - Uma chaminé de tijolos tem 50 cm de altura. Os tijolos têm massa específica
, Módulo de Young
e Índice de Poisson
e
. Determine:
a) a tensão de compressão axial na base da chaminé;
b) a deformação axial na base da chaminé;
c) a deformação transversal na base da chaminé
Solução:
a)
b)
c)
a) a tensão de compressão axial na base da chaminé;
b) a deformação axial na base da chaminé;
c) a deformação transversal na base da chaminé
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
a) a tensão de compressão axial na base da chaminé;
b) a deformação axial na base da chaminé;
c) a deformação transversal (lateral) na base da chaminé.
a) a tensão de compressão axial na base da chaminé;
b) a deformação axial na base da chaminé;
c) a deformação transversal (lateral) na base da chaminé.
Dados fornecidos (vou listar em termos práticos e já convertendo unidades quando necessário):
(massa específica),
(Módulo de Young),
(Índice de Poisson),
(gravidade),
(altura da chaminé).
Observação: a área da secção transversal
não é dada; isso indica que a tensão devido ao próprio peso pode ficar independente de
(vamos ver isso na conta). Não há figura faltando: temos tudo que precisamos.
Passo 2
Entender fisicamente o que causa a tensão: cada camada de tijolos suporta o peso das camadas acima. Na base a força axial (peso da chaminé) é
. Vamos relacionar massa com densidade e volume:
Definições e fórmulas usadas:
- Volume da chaminé:
, onde é a área da secção transversal e a altura. Aqui é arbitrária (não fornecida). - Massa:
. - Força peso:
. - Tensões axiais uniformes (força por área):
. Como a força é compressiva na base, usaremos o sinal negativo para tensão compressiva: .
Passo 3
Combinar as expressões para eliminar
:
Explicação: o fato de
cancelar mostra por que a tensão axial produzida pelo próprio peso, para um corpo de seção constante, independe da área da seção.
Passo 4
Agora calculamos numericamente
. Substituindo os valores e lembrando que
:
Fazendo a multiplicação:
. Portanto
Comentário didático: a unidade
é
. O valor é relativamente pequeno porque a chaminé é curta (0,5 m) e a densidade, embora grande, gera pouco peso total.
Passo 5
Passo para obter a deformação axial: usamos a lei de Hooke para regime elástico linear (deformações pequenas):
onde
é a tensão axial (em
),
é o Módulo de Young (em
) e
é a deformação axial (adimensional). Assumimos material homogêneo e comportamento linear elástico — hipótese padrão para cálculo simples de pequenas deformações.
Isolando
:
Passo 6
Calculemos numericamente
. Primeiro escrevemos
em
:
. Substituindo:
Fazendo a divisão:
. Mantendo o sinal:
Explicação: o sinal negativo indica contração axial (deformação reduzindo o comprimento) devido à compressão. A deformação é adimensional (sem unidades).
Passo 7
Agora a deformação transversal (lateral). Para materiais isotrópicos lineares, a relação de Poisson dá:
onde
é o índice de Poisson,
a deformação axial, e
a deformação lateral (adimensional). Interpretação de sinais: se
é negativo (compressão axial), então
é positivo — ou seja, o corpo tende a alargar lateralmente sob compressão axial.
Passo 8
Calculemos numericamente:
Comentário:
é positivo e muito pequeno; traduz o ligeiro alargamento transversal.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)