5 - Considere um esforço de tração onde a carga aplicada ao corpo de prova cilíndrico é 75620 N , o diâmetro do corpo de prova sob esta carga é 12.0 mm e o diâmetro inicial é 12.7 mm . Determine a deformação, a tensão (em MPa), a deformação verdadeira e a tensão verdadeira (em MPa).
Solução:
\begin{aligned} & A_{0}=\frac{\pi \cdot\left(d_{0}\right)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot(12.7 \cdot 0.001 \mathrm{~m})^{2}}{4}=126.677 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} \\\ & A_{i}=\frac{\pi \cdot\left(d_{i}\right)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot(12.0 \cdot 0.001 \mathrm{~m})^{2}}{4}=113.097 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} \\\ & \sigma=\frac{F}{A_{0}}=\frac{75620 \mathrm{~N}}{126.677 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2}} \cong 596.95 \mathrm{MPa} \\\ & \varepsilon=\frac{\Delta l}{l_{0}}=\frac{l_{i}-l_{0}}{l_{0}}=\frac{l_{i}}{l_{0}}-1=\frac{A_{0}}{A_{i}}-1 \cong 0.1207 \quad\left(A_{0} \cdot l_{0}=A_{i} \cdot l_{i}\right) \\\ & \sigma_{v}=\frac{F}{A_{i}}=\frac{75620 \mathrm{~N}}{113.097 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2}} \cong 668.63 \mathrm{MPa} \\\ & \varepsilon_{v}=\ln \left(\frac{l_{i}}{l_{0}}\right)=\ln \left(\frac{A_{0}}{A_{i}}\right) \cong 0.1134 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quatro quantidades indicadas:
  • Força aplicada: F=75620\\ \mathrm{N}.
  • Diâmetro inicial do corpo de prova: d_{0}=12{,}7\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro sob carga: d_{i}=12{,}0\\ \mathrm{mm}.
Perguntas: determinar
  • a deformação (engenharia) \varepsilon,
  • a tensão (engenharia) \sigma em \mathrm{MPa},
  • a deformação verdadeira \varepsilon_{v},
  • a tensão verdadeira \sigma_{v} em \mathrm{MPa}.
Observação prática: vou converter diâmetros para metros quando precisar de áreas em \mathrm{m}^{2}. Não estou pedindo nada a você — só organizando o que temos para resolver passo a passo.

Passo 2

Cálculo das áreas de seção transversal inicial e final usando a fórmula da área de um círculo
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Converter \mathrm{mm} para \mathrm{m}: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}. Assim:
Área inicial:
A_{0}=\frac{\pi\cdot\left(12{,}7\cdot 10^{-3}\right)^{2}}{4}.
Numericamente:
A_{0}=\frac{\pi\cdot(12{,}7\cdot 0{,}001)^{2}}{4}\approx 126{,}698\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}.
Área sob carga:
A_{i}=\frac{\pi\cdot\left(12{,}0\cdot 10^{-3}\right)^{2}}{4}.
Numericamente:
A_{i}=\frac{\pi\cdot(12{,}0\cdot 0{,}001)^{2}}{4}\approx 113{,}097\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}.
Observação útil (que facilita contas): a razão das áreas cancela o fator \pi/4, então
\frac{A_{0}}{A_{i}}=\left(\frac{d_{0}}{d_{i}}\right)^{2}=\left(\frac{12{,}7}{12{,}0}\right)^{2}=\frac{161{,}29}{144}\approx 1{,}1195139.

Passo 3

Tensão (engenharia ou nominal) \sigma é definida por
\sigma=\frac{F}{A_{0}}.
Substituindo os valores:
\sigma=\frac{75620}{126{,}698\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}\approx 596{,}95\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \mathrm{MPa} ( 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}):
\sigma\approx 596{,}95\\ \mathrm{MPa}.
Explicação didática rápida: tensão é força por unidade de área; usamos a área inicial porque a tensão “engenharia” usa a área original do corpo de prova.

Passo 4

Deformação (engenharia) \varepsilon é definida por
\varepsilon=\frac{l_{i}-l_{0}}{l_{0}}=\frac{l_{i}}{l_{0}}-1.
Problema: não conhecemos l_{0} e l_{i}. Para um ensaio de tração plástico usualmente assume-se que o material é incompressível durante alongamento plástico (volume aproximadamente constante), ou seja
A_{0}\,l_{0}=A_{i}\,l_{i}.
Dessa relação obtemos
\frac{l_{i}}{l_{0}}=\frac{A_{0}}{A_{i}}.
Logo a deformação engenharia pode ser escrita em termos das áreas:
\varepsilon=\frac{A_{0}}{A_{i}}-1.
Agora substituímos a razão de áreas obtida no Passo 2:
\varepsilon=\left(\frac{12{,}7}{12{,}0}\right)^{2}-1\approx 1{,}1195139-1\approx 0{,}1195139.
Portanto a deformação engenharia é aproximadamente \varepsilon\approx 0{,}1195 (adimensional, pode ser expressa também como 11{,}95\%).

Passo 5

Tensão verdadeira \sigma_{v} (também chamada tensão verdadeira instantânea) usa a área instantânea:
\sigma_{v}=\frac{F}{A_{i}}.
Substituindo:
\sigma_{v}=\frac{75620}{113{,}097\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}\approx 668{,}63\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa},
ou seja
\sigma_{v}\approx 668{,}63\\ \mathrm{MPa}.
Comentário prático: também podia calcular \sigma_{v}=\sigma\cdot\frac{A_{0}}{A_{i}}, porque \sigma=F/A_{0}.

Passo 6

Deformação verdadeira \varepsilon_{v} (logarítmica) é definida por
\varepsilon_{v}=\ln\left(\frac{l_{i}}{l_{0}}\right).
Usando a conservação de volume l_{i}/l_{0}=A_{0}/A_{i}, obtemos
\varepsilon_{v}=\ln\left(\frac{A_{0}}{A_{i}}\right).
Substituindo a razão calculada:
\varepsilon_{v}=\ln\left(1{,}1195139\right)\approx 0{,}112894.
Arredondando de forma consistente, \varepsilon_{v}\approx 0{,}1129 (adimensional).
Breve explicação: a deformação verdadeira soma incrementalmente pequenos alongamentos (por isso o logaritmo), e é a medida mais adequada quando as deformações são grandes.

Resposta

Deformação (engenharia): \varepsilon\approx 0{,}1195.
Tensão (engenharia): \sigma\approx 596{,}95\\ \mathrm{MPa}.
Deformação verdadeira: \varepsilon_{v}\approx 0{,}1129.
Tensão verdadeira: \sigma_{v}\approx 668{,}63\\ \mathrm{MPa}.

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