P1 (Chang) O ferro metálico (Fe) cristaliza-se em um sistema cúbico. Medidas de raios X mostraram que a aresta da sua célula unitária mede 287 pm . Considerando que a densidade do metal é 7,87 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, determine:
a) A célula unitária do metal é do tipo cúbica simples, cúbica de corpo centrado ou cúbica de face centrada? Mostre!
b) Qual deve ser o valor do raio atômico do átomo de ferro, de acordo com os dados de raios X ?

Passo 1

O enunciado dá que o ferro metálico (Fe) cristaliza num sistema cúbico com aresta da célula unitária a = 287\,\mathrm{pm} e densidade \rho = 7,87\,\mathrm{g/cm^3}. Pede:
a) identificar se a célula é cúbica simples ( n=1), cúbica de corpo centrado ( n=2) ou cúbica de faces centradas ( n=4), usando a relação de densidade de rede metálica;
b) calcular o raio atômico r a partir dos dados de raios X, usando a geometria da célula determinada.

Passo 2

A densidade de um cristal metálico relaciona o número de átomos por célula n, a massa molar M, a constante de Avogadro N_A e o volume da célula a^3 via
\rho \;=\;\frac{n\,M}{N_A\,a^3}.
Isolando n, temos
n \;=\;\frac{\rho\,N_A\,a^3}{M}.

Passo 3

Substituindo valores (em unidades consistentes):
\rho = 7{,}87\,\mathrm{g/cm^3},
M = 55{,}845\,\mathrm{g/mol},
N_A = 6{,}022\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}},
a = 287\,\mathrm{pm} = 2{,}87\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.
a^3 = (2{,}87\times10^{-8})^3 = 2{,}364\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3},
n = \frac{7{,}87 \times 6{,}022\times10^{23}\times 2{,}364\times10^{-23}}{55{,}845} \approx 2{,}00.
Como n\approx2, trata-se de célula cúbica de corpo centrado (bcc).

Passo 4

Na célula bcc, os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo. A diagonal mede \sqrt{3}\,a e contém quatro raios atômicos em série, ou seja
4\,r = \sqrt{3}\,a,
de onde
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.

Passo 5

Com a = 287\,\mathrm{pm}:
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\times 287\,\mathrm{pm} \approx \frac{1{,}732}{4}\times 287\,\mathrm{pm} \approx 124\,\mathrm{pm}.

Resposta

a) A célula unitária é cúbica de corpo centrado (bcc).
b) O raio atômico do Fe vale aproximadamente 124\,\mathrm{pm}.

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