Uma chapa de aço, de espessura L=5 \mathrm{~cm} e condutividade térmica k=20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), está sujeita a um fluxo uniforme de calor q=600 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} em uma de suas superfícies e dissipa calor por convecção, com um coeficiente de transferência de calor h_{x}=80 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), pela outra superfície, para o ar ambiente a T_{x}=25^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a temperatura da superfície que está dissipando a calor por convecção?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura da superfície que está dissipando calor por convecção. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Espessura da chapa: L=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=20\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Fluxo de calor aplicado na outra face (fluxo uniforme): q=600\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Aqui q é o fluxo de calor por unidade de área (também chamado q'').
  • Coeficiente de convecção da superfície que dissipa: h_x=80\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura do ar ambiente: T_x=25^\circ\mathrm{C}.
O que pedir: determinar a temperatura da superfície que está em contato com o ar e dissipa por convecção (chamarei essa temperatura de T_s).

Passo 2

Modelo físico e leis relevantes (explicação didática e sem pular etapas).
  • Estamos em regime estacionário (temperaturas não variam no tempo) e assumimos condução unidimensional através da espessura da placa, sem geração interna de calor. Em regime estacionário, o fluxo de calor perpendicular à placa é constante em todas as seções.
  • Lei de Fourier (condução): o fluxo de calor por unidade de área através do material é dado por
q''=-k\,\frac{dT}{dx},
onde q'' é o fluxo de calor (W/m ^2), k é a condutividade térmica e \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura na direção da espessura. O sinal negativo indica que o calor flui de regiões mais quentes para mais frias.
  • Lei de Newton do resfriamento (convecção): o fluxo de calor por convecção na superfície é
q''=h_x\,(T_s-T_x),
onde h_x é o coeficiente convectivo, T_s é a temperatura da superfície e T_x é a temperatura do fluido ambiente.
  • Importante: como o fluxo aplicado q é uniforme e estacionário, o mesmo q'' atravessa a chapa e sai por convecção. Logo o q'' dado no enunciado é igual ao fluxo convectivo na superfície: q''=q.

Passo 3

Relacionar as equações e isolar T_s.
Pelo raciocínio acima, usa-se a lei de Newton com q''=q:
q = h_x\,(T_s - T_x).
Isolando T_s:
T_s = T_x + \frac{q}{h_x}.
Comentário físico curto: essa expressão mostra que, quando o fluxo é conhecido, a temperatura da superfície convectante depende apenas do fluxo e do coeficiente de convecção e da temperatura ambiente — a condutividade k e a espessura L não aparecem aqui porque elas controlam apenas a queda de temperatura através da placa (ou seja, a diferença entre as duas faces), não a diferença entre superfície e ambiente quando o fluxo é especificado.

Passo 4

Substituir os números e calcular (faça as contas sem calculadora mental passo a passo):
  • Primeiro calcule o termo \dfrac{q}{h_x}:
\frac{q}{h_x}=\frac{600}{80}=\frac{600\div 10}{80\div 10}=\frac{60}{8}=7{,}5\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Agora soma com T_x=25^\circ\mathrm{C}:
T_s = 25^\circ\mathrm{C} + 7{,}5^\circ\mathrm{C} = 32{,}5^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Contexto adicional (opcional, para entender o papel de k e L).
A diferença de temperatura entre a face onde o fluxo é aplicado (chamemos T_{\,\text{in}}) e a face convectante T_s é dada pela resistência à condução:
\Delta T_{\text{cond}} = T_{\,\text{in}}-T_s = \frac{q\,L}{k}.
Calculando rapidamente:
\frac{q\,L}{k}=\frac{600\cdot 0,05}{20}=600\cdot 0,0025=1{,}5^\circ\mathrm{C}.
Assim T_{\,\text{in}}=T_s+1{,}5^\circ\mathrm{C}=34{,}0^\circ\mathrm{C}. Isso mostra que a placa tem uma pequena queda de temperatura interna; mas a temperatura da superfície convectante veio diretamente da relação convectiva usada no Passo 3.

Resposta

T_s=32{,}5^\circ\mathrm{C}

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