Um pistão de peso
desliza dentro de um cilindro com uma velocidade constante de
. O diâmetro do cilindro é de
, e o diâmetro do pistão é
. O lubrificante na folga entre o pistão possui certa viscosidade e o movimento é regido pela tensão de cisalhamento ao longo de um comprimento (L) de 0,1m. Determine qual é a viscosidade dinâmica (
) do lubrificante.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Peso do pistão:
. - Velocidade do pistão:
. - Diâmetro do cilindro:
. - Diâmetro do pistão:
. - Comprimento onde ocorre o cisalhamento:
.
- Peso do pistão:
-
O que se pede:
- Determinar a viscosidade dinâmica do lubrificante,
.
- Determinar a viscosidade dinâmica do lubrificante,
Passo 2
Entendimento físico e aproximações que faremos (tudo explicado passo a passo).
- O pistão desliza com velocidade constante, logo as forças verticais se equilibram. A força viscosa que age na superfície lateral do pistão (devido ao fluido na folga) deve equilibrar o peso
. - Aproximação do escoamento: a folga radial é muito pequena comparada ao diâmetro, então podemos modelar o escoamento na folga como um escoamento de cisalhamento simples (escoamento de Couette) entre superfícies praticamente planas curvadas. Nessa aproximação, o gradiente de velocidade na direção radial é aproximadamente
, onde é a espessura do filme lubrificante (a folga). - Assumimos fluido Newtoniano, para o qual a tensão de cisalhamento é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (Pa), -
é a viscosidade dinâmica (Pa·s), -
é o gradiente de velocidade perpendicular à direção do escoamento (s^{-1}).
Passo 3
Calcular a espessura da folga
a partir dos diâmetros.
- A folga radial é a metade da diferença dos diâmetros:
- Substituindo os valores (em metros):
Passo 4
Expressar a força viscosa total em termos de
.
- A tensão de cisalhamento média na parede, pela aproximação de perfil linear, é
- A força viscosa total que atua sobre a superfície lateral do pistão é a tensão multiplicada pela área de superfície lateral:
- A área lateral do pistão (área cilíndrica) é:
- Portanto:
Aqui:
é o diâmetro do pistão,
é o comprimento sobre o qual ocorre o cisalhamento.
Passo 5
Equacionar o equilíbrio de forças e isolar
.
- Como o pistão se move com velocidade constante, a força viscosa para cima equilibra o peso para baixo:
- Substituindo a expressão de
:
- Isolando
:
Nessa fórmula:
-
em newtons, -
em metros, -
em metros por segundo, -
e em metros, -
resultará em .
Passo 6
Calcular numericamente
com todos os valores.
- Primeiro calcule a área auxiliar
(só para organizar):
- Agora aplique a fórmula
- Substituindo os números:
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento.
- O valor obtido
corresponde a cerca de centipoises, o que é razoável para óleos lubrificantes mais viscosos. Se em prova alguém questionar a aproximação, explique que usamos o modelo de Couette (perfil de velocidade quase linear na folga estreita), que é padrão para folgas muito pequenas comparadas ao diâmetro. - Boa! Você chegou ao resultado seguindo a lógica física: equilíbrio de forças + lei de Newtonian de viscosidade + geometria cilíndrica.