Um pistão de peso \mathrm{P}=10 \mathrm{~N} desliza dentro de um cilindro com uma velocidade constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O diâmetro do cilindro é de 8,1 \mathrm{~cm}, e o diâmetro do pistão é 8,0 \mathrm{~cm}. O lubrificante na folga entre o pistão possui certa viscosidade e o movimento é regido pela tensão de cisalhamento ao longo de um comprimento (L) de 0,1m. Determine qual é a viscosidade dinâmica ( \mu ) do lubrificante.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Peso do pistão: P=10\\ \mathrm{N}.
    • Velocidade do pistão: U=3\\ \mathrm{m/s}.
    • Diâmetro do cilindro: D_{\text{cil}}=8{,}1\\ \mathrm{cm} = 0{,}081\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro do pistão: D_{\text{p}}=8{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}080\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento onde ocorre o cisalhamento: L=0{,}1\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede:
    • Determinar a viscosidade dinâmica do lubrificante, \mu.

Passo 2

Entendimento físico e aproximações que faremos (tudo explicado passo a passo).
  • O pistão desliza com velocidade constante, logo as forças verticais se equilibram. A força viscosa que age na superfície lateral do pistão (devido ao fluido na folga) deve equilibrar o peso P.
  • Aproximação do escoamento: a folga radial é muito pequena comparada ao diâmetro, então podemos modelar o escoamento na folga como um escoamento de cisalhamento simples (escoamento de Couette) entre superfícies praticamente planas curvadas. Nessa aproximação, o gradiente de velocidade na direção radial é aproximadamente \dfrac{U}{h}, onde h é a espessura do filme lubrificante (a folga).
  • Assumimos fluido Newtoniano, para o qual a tensão de cisalhamento é dada por
\tau = \mu \frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (Pa),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s),
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular à direção do escoamento (s^{-1}).

Passo 3

Calcular a espessura da folga h a partir dos diâmetros.
  • A folga radial é a metade da diferença dos diâmetros:
h = \frac{D_{\text{cil}}-D_{\text{p}}}{2}.
  • Substituindo os valores (em metros):
h = \frac{0{,}081 - 0{,}080}{2} = \frac{0{,}001}{2} = 0{,}0005\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Expressar a força viscosa total em termos de \mu.
  • A tensão de cisalhamento média na parede, pela aproximação de perfil linear, é
\tau = \mu \frac{U}{h}.
  • A força viscosa total que atua sobre a superfície lateral do pistão é a tensão multiplicada pela área de superfície lateral:
F_{\text{visc}} = \tau \cdot A = \mu \frac{U}{h} \cdot A.
  • A área lateral do pistão (área cilíndrica) é:
A = \pi D_{\text{p}} L.
  • Portanto:
F_{\text{visc}} = \mu \frac{U}{h} \cdot \pi D_{\text{p}} L.
Aqui: D_{\text{p}} é o diâmetro do pistão, L é o comprimento sobre o qual ocorre o cisalhamento.

Passo 5

Equacionar o equilíbrio de forças e isolar \mu.
  • Como o pistão se move com velocidade constante, a força viscosa para cima equilibra o peso para baixo:
F_{\text{visc}} = P.
  • Substituindo a expressão de F_{\text{visc}}:
\mu \frac{U}{h} \cdot \pi D_{\text{p}} L = P.
  • Isolando \mu:
\mu = \frac{P\,h}{U\,\pi D_{\text{p}} L}.
Nessa fórmula:
  • P em newtons,
  • h em metros,
  • U em metros por segundo,
  • D_{\text{p}} e L em metros,
  • \mu resultará em \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 6

Calcular numericamente \mu com todos os valores.
  • Primeiro calcule a área auxiliar \pi D_{\text{p}} L (só para organizar):
\pi D_{\text{p}} L = \pi \times 0{,}080 \times 0{,}1 = 0{,}008\pi \approx 0{,}025132741\\ \mathrm{m^2}.
  • Agora aplique a fórmula
\mu = \frac{P\,h}{U\,\pi D_{\text{p}} L}.
  • Substituindo os números:
\mu = \frac{10 \times 0{,}0005}{3 \times 0{,}025132741} = \frac{0{,}005}{0{,}075398223} \approx 0{,}066319\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajamento.
  • O valor obtido \mu \approx 0{,}0663\\ \mathrm{Pa\cdot s} corresponde a cerca de 66{,}3 centipoises, o que é razoável para óleos lubrificantes mais viscosos. Se em prova alguém questionar a aproximação, explique que usamos o modelo de Couette (perfil de velocidade quase linear na folga estreita), que é padrão para folgas muito pequenas comparadas ao diâmetro.
  • Boa! Você chegou ao resultado seguindo a lógica física: equilíbrio de forças + lei de Newtonian de viscosidade + geometria cilíndrica.

Resposta

\mu = 0,0663\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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