Se P é uma força e x um comprimento, quais serão as dimensões (no sistema FLT) de dP/dx?

Passo 1

O que o problema pede: determinar as dimensões de \dfrac{dP}{dx} no sistema FLT.\n
Informações dadas:
  • P é uma força, portanto tem dimensão \,F\,.\n
  • x é um comprimento, portanto tem dimensão \,L\,.\n
    Pergunta explícita: encontrar a dimensão de \dfrac{dP}{dx} em termos de F, L e T (sistema FLT).

Passo 2

Entendendo o que significa o derivado do ponto de vista dimensional.\n
O derivado \dfrac{dP}{dx} representa a razão entre uma pequena variação de P e uma pequena variação de x. Num sentido dimensional isso se aproxima de uma razão de dimensões:
\left[\dfrac{dP}{dx}\right]=\left[\dfrac{\Delta P}{\Delta x}\right].
Aqui a notação [\cdot] significa “dimensão de”.

Passo 3

Aplicando a regra de divisão de dimensões: dividir dimensões corresponde a subtrair expoentes. Então
\left[\dfrac{dP}{dx}\right]=\dfrac{[P]}{[x]}.
Substituindo [P]=F e [x]=L obtemos
\left[\dfrac{dP}{dx}\right]=\dfrac{F}{L}.

Passo 4

Escrevendo o resultado em notação de potências (usada em análise dimensional):
\left[\dfrac{dP}{dx}\right]=F\,L^{-1}.
Comentário didático: isso é consistente com unidades conhecidas — por exemplo em SI P em newtons ( \text{N}) e x em metros ( \text{m}), logo \dfrac{dP}{dx} tem unidades \text{N}\,\text{m}^{-1} (que é a unidade de constante elástica de mola, por exemplo).

Passo 5

Se for útil relacionar com o sistema mais habitual M L T^{-2} (onde a força \,F = M L T^{-2}\,), pode-se substituir:
\left[\dfrac{dP}{dx}\right]=F\,L^{-1}=(M L T^{-2})L^{-1}=M T^{-2}.
Isso dá a mesma informação expressa em termos das bases M,L,T: massa vezes tempo ao quadrado no denominador.

Resposta

F\,L^{-1}

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