Uma grande janela de vidro, com L=0,5 \mathrm{~cm} de espessura e condutividade térmica k=0,78 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), está exposta ao ar quente a T_{i}=25^{\circ} \mathrm{C} em sua superfície interna; o coeficiente de transferência de calor para o ar interior é h_{i}=15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). O ar exterior está a T_{0}=-15^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente de transferência de calor associado à sua superfície externa é h_{0}=50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Quais sāo as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (coloquei todos os números em unidades do SI):
  • Espessura do vidro: L=0{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do vidro: k=0{,}78\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura do ar interior (superfície interna em contato com o ar): T_{i}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de troca convectiva no lado interno: h_{i}=15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura do ar exterior: T_{0}=-15^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de troca convectiva no lado externo: h_{0}=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
O que o problema pede:
  • Determinar a temperatura da superfície interna do vidro (a face que fica em contato com o ar a T_{i}); chamar essa temperatura de T_{s,i}.
  • Determinar a temperatura da superfície externa do vidro (a face em contato com o ar a T_{0}); chamar essa temperatura de T_{s,o}.

Passo 2

Modelo físico e ideia de resolução (explicando cada passo e fórmula):
  • Em regime estacionário unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área (chamado de fluxo de calor superficial) é o mesmo através de cada resistência térmica em série: convecção interna, condução no vidro, convecção externa. Denotamos esse fluxo por q'' (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).
  • As leis que usamos:
    • Convecção (interior): q''=h_{i}\left(T_{i}-T_{s,i}\right).Aqui q'' é o fluxo por área, h_{i} é o coeficiente convectivo interior, T_{i} é a temperatura do ar interior e T_{s,i} é a temperatura da superfície interna do vidro.
    • Condução (vidro fino, direção normal): q''=\frac{k}{L}\left(T_{s,i}-T_{s,o}\right).Aqui k é a condutividade do vidro, L sua espessura e T_{s,o} a temperatura da superfície externa do vidro.
    • Convecção (exterior): q''=h_{0}\left(T_{s,o}-T_{0}\right).Aqui h_{0} e T_{0} são o coeficiente convectivo e a temperatura do ar externo, respectivamente.
  • Como todas as três expressões valem q'', podemos eliminar T_{s,i} e T_{s,o} e escrever q'' diretamente em função da diferença total de temperatura T_{i}-T_{0} usando resistências térmicas em série:
    • Resistência convectiva interna por unidade de área: \displaystyle R_{i}=\frac{1}{h_{i}}.
    • Resistência de condução do vidro por unidade de área: \displaystyle R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}.
    • Resistência convectiva externa por unidade de área: \displaystyle R_{0}=\frac{1}{h_{0}}.
    • Resistência total: \displaystyle R_{\text{tot}}=R_{i}+R_{\text{cond}}+R_{0}=\frac{1}{h_{i}}+\frac{L}{k}+\frac{1}{h_{0}}.
    • Assim obtemos a fórmula-chave (mesmo raciocínio que numa pilha de resistores elétricos): q''=\frac{T_{i}-T_{0}}{R_{\text{tot}}}=\frac{T_{i}-T_{0}}{\dfrac{1}{h_{i}}+\dfrac{L}{k}+\dfrac{1}{h_{0}}}.
  • Depois de calcular q'' usaremos as relações de convecção para achar as temperaturas das superfícies:
    • \displaystyle T_{s,i}=T_{i}-\frac{q''}{h_{i}}.
    • \displaystyle T_{s,o}=T_{0}+\frac{q''}{h_{0}}.
      Essas expressões são diretas da lei de Newton de resfriamento (convecção) explicada acima.

Passo 3

Cálculo numérico do fluxo q''.
  • Primeiro calculemos cada resistência (tudo em \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}): \frac{1}{h_{i}}=\frac{1}{15} \approx 0{,}0666666667,
\frac{L}{k}=\frac{0{,}005}{0{,}78}\approx 0{,}0064102564,
\frac{1}{h_{0}}=\frac{1}{50}=0{,}02.
  • Resistência total: R_{\text{tot}}=\frac{1}{h_{i}}+\frac{L}{k}+\frac{1}{h_{0}} \approx 0{,}0666666667+0{,}0064102564+0{,}02 =0{,}0930769231\\ \mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{W}.
  • Diferença de temperatura entre os ambientes: T_{i}-T_{0}=25-(-15)=40^\circ\mathrm{C}.
  • Logo o fluxo por unidade de área é q''=\frac{40}{0{,}0930769231}\approx 429{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo das temperaturas das superfícies usando q''.
  • Temperatura da superfície interna: T_{s,i}=T_{i}-\frac{q''}{h_{i}} =25-\frac{429{,}6}{15} =25-28{,}64 \approx -3{,}64^\circ\mathrm{C}.Interpretação rápida: a convecção interna “causa” uma queda de temperatura entre o ar interior e a face do vidro de cerca de 28{,}64^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa: T_{s,o}=T_{0}+\frac{q''}{h_{0}} =-15+\frac{429{,}6}{50} =-15+8{,}592 \approx -6{,}41^\circ\mathrm{C}.Interpretação: a face externa fica um pouco abaixo de zero, por causa do ar frio e do balanço entre condução e convecção externa.

Passo 5

Verificação rápida (sanity check):
  • A soma das quedas de temperatura através das três resistências deve dar T_{i}-T_{0}=40^\circ\mathrm{C}. Calculando:
    • Queda na convecção interna: T_{i}-T_{s,i}=25-(-3{,}64)=28{,}64^\circ\mathrm{C}.
    • Queda na condução do vidro: T_{s,i}-T_{s,o}\approx -3{,}64-(-6{,}41)=2{,}77^\circ\mathrm{C}.
    • Queda na convecção externa: T_{s,o}-T_{0}=-6{,}41-(-15)=8{,}59^\circ\mathrm{C}.
    • Soma: 28{,}64+2{,}77+8{,}59\approx 40{,}00^\circ\mathrm{C}. OK — pequenas diferenças são por arredondamento.

Resposta

T_{s,i}\approx -3{,}64^\circ\mathrm{C}
T_{s,o}\approx -6{,}41^\circ\mathrm{C}

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