Uma grande janela de vidro, com
de espessura e condutividade térmica
, está exposta ao ar quente a
em sua superfície interna; o coeficiente de transferência de calor para o ar interior é
. O ar exterior está a
, e o coeficiente de transferência de calor associado à sua superfície externa é
. Quais sāo as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (coloquei todos os números em unidades do SI):
- Espessura do vidro:
. - Condutividade térmica do vidro:
. - Temperatura do ar interior (superfície interna em contato com o ar):
. - Coeficiente de troca convectiva no lado interno:
. - Temperatura do ar exterior:
. - Coeficiente de troca convectiva no lado externo:
.
O que o problema pede:
- Determinar a temperatura da superfície interna do vidro (a face que fica em contato com o ar a
); chamar essa temperatura de . - Determinar a temperatura da superfície externa do vidro (a face em contato com o ar a
); chamar essa temperatura de .
Passo 2
Modelo físico e ideia de resolução (explicando cada passo e fórmula):
- Em regime estacionário unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área (chamado de fluxo de calor superficial) é o mesmo através de cada resistência térmica em série: convecção interna, condução no vidro, convecção externa. Denotamos esse fluxo por
(unidade ). - As leis que usamos:
- Convecção (interior):
Aqui é o fluxo por área, é o coeficiente convectivo interior, é a temperatura do ar interior e é a temperatura da superfície interna do vidro. - Condução (vidro fino, direção normal):
Aqui é a condutividade do vidro, sua espessura e a temperatura da superfície externa do vidro. - Convecção (exterior):
Aqui e são o coeficiente convectivo e a temperatura do ar externo, respectivamente.
- Convecção (interior):
- Como todas as três expressões valem
, podemos eliminar e e escrever diretamente em função da diferença total de temperatura usando resistências térmicas em série: - Resistência convectiva interna por unidade de área:
. - Resistência de condução do vidro por unidade de área:
. - Resistência convectiva externa por unidade de área:
. - Resistência total:
- Assim obtemos a fórmula-chave (mesmo raciocínio que numa pilha de resistores elétricos):
- Resistência convectiva interna por unidade de área:
- Depois de calcular
usaremos as relações de convecção para achar as temperaturas das superfícies: -
-
Essas expressões são diretas da lei de Newton de resfriamento (convecção) explicada acima.
-
Passo 3
Cálculo numérico do fluxo
.
- Primeiro calculemos cada resistência (tudo em
):
- Resistência total:
- Diferença de temperatura entre os ambientes:
- Logo o fluxo por unidade de área é
Passo 4
Cálculo das temperaturas das superfícies usando
.
- Temperatura da superfície interna:
Interpretação rápida: a convecção interna “causa” uma queda de temperatura entre o ar interior e a face do vidro de cerca de . - Temperatura da superfície externa:
Interpretação: a face externa fica um pouco abaixo de zero, por causa do ar frio e do balanço entre condução e convecção externa.
Passo 5
Verificação rápida (sanity check):
- A soma das quedas de temperatura através das três resistências deve dar
. Calculando: - Queda na convecção interna:
. - Queda na condução do vidro:
. - Queda na convecção externa:
. - Soma:
. OK — pequenas diferenças são por arredondamento.
- Queda na convecção interna: