Uma chapa de alumínio e outra de cobre têm áreas respectivamente iguais a 80,00 \mathrm{~cm}^{2} e 80,40 \mathrm{~cm}^{2} a 0,0^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que \beta_{\text {Al }}=48.10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e \beta_{\text {Cu }}=34.10^{-} { }^{60} \mathrm{C}^{-1}, determine a temperatura em que elas terão áreas iguais.

Passo 1

O enunciado dá duas chapas com áreas iniciais em 0,0^\circ\mathrm C: uma de alumínio com \,A_{\text{Al},0}=80,00\\ \mathrm{cm}^2 e coeficiente de expansão de área \beta_{\text{Al}}=48\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm C^{-1}, e outra de cobre com \,A_{\text{Cu},0}=80,40\\ \mathrm{cm}^2 e \beta_{\text{Cu}}=34\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm C^{-1}.
O conteúdo físico envolvido é expansão térmica bidimensional (área), em que a área a uma temperatura T (a partir de 0^\circ\mathrm C) obedece:
A(T)=A_0\bigl(1+\beta\,T\bigr).

Passo 2

Escrevemos a área de cada chapa em função de T:
A_{\text{Al}}(T)=80{,}00\bigl[1+\beta_{\text{Al}}\,T\bigr],
A_{\text{Cu}}(T)=80{,}40\bigl[1+\beta_{\text{Cu}}\,T\bigr].
Queremos a temperatura em que
A_{\text{Al}}(T)=A_{\text{Cu}}(T).

Passo 3

Igualando as expressões:
80{,}00\bigl(1+\beta_{\text{Al}}T\bigr) = 80{,}40\bigl(1+\beta_{\text{Cu}}T\bigr).
Expandindo e isolando T:
80{,}00 +80{,}00\,\beta_{\text{Al}}T = 80{,}40 +80{,}40\,\beta_{\text{Cu}}T \quad\Longrightarrow\quad T\bigl(80{,}00\,\beta_{\text{Al}}-80{,}40\,\beta_{\text{Cu}}\bigr) =0{,}40
\boxed{T=\frac{0{,}40}{80{,}00\,\beta_{\text{Al}}-80{,}40\,\beta_{\text{Cu}}}.}

Passo 4

Substituindo \beta_{\text{Al}}=48\times10^{-6} e \beta_{\text{Cu}}=34\times10^{-6}:
80{,}00\,\beta_{\text{Al}}=80\times48\times10^{-6}=3{,}840\times10^{-3},
80{,}40\,\beta_{\text{Cu}}=80{,}4\times34\times10^{-6}=2{,}7336\times10^{-3},
T=\frac{0{,}40}{3{,}840\times10^{-3}-2{,}7336\times10^{-3}} =\frac{0{,}40}{1{,}1064\times10^{-3}} \approx361{,}4\\ ^\circ\mathrm C.

Resposta

A temperatura em que as duas chapas têm a mesma área é aproximadamente
T\approx361^\circ\mathrm C.

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