Uma chapa grossa de aço baixo carbono com espessura igual a 42,0 \mathrm{~mm} deve ser reduzida para 34,0 \mathrm{~mm} em um passe numa operação de laminação. À medida que a espessura é reduzida, a chapa grossa alarga 4 \%. O limite de resistência da chapa grossa de aço é 290 MPa . A velocidade de entrada da chapa grossa é 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{min}. O raio do cilindro de trabalho é 325 mm , e a velocidade de rotação é 49,0 rpm. Determine (a) o mínimo coeficiente de atrito necessário para que esta operação de laminação seja realizada, (b) a velocidade de saída da chapa grossa, e (c) o deslizamento avante.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, bem claro para depois atacarmos passo a passo.
Dados (todos em TeX):
\begin{aligned} &\text{espessura inicial: } h_0 = 42{,}0\\ \mathrm{mm} = 0{,}042\\ \mathrm{m},\\\ &\text{espessura final: } h_1 = 34{,}0\\ \mathrm{mm} = 0{,}034\\ \mathrm{m},\\\ &\text{alargamento lateral: } 4\% \Rightarrow w_1 = 1{,}04\,w_0,\\\ &\text{limite de resistência (dado no enunciado): } \sigma_{lim} = 290\\ \mathrm{MPa},\\\ &\text{velocidade de entrada: } v_{\text{in}} = 15{,}0\\ \mathrm{m/min},\\\ &\text{raio do cilindro: } R = 325\\ \mathrm{mm} = 0{,}325\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade de rotação: } N = 49{,}0\\ \mathrm{rpm}. \end{aligned}êçã
O enunciado pede:
(a) o mínimo coeficiente de atrito necessário para que a laminação ocorra (isto é, para que a chapa seja “puxada” para dentro do espaço entre rolos);
(b) a velocidade de saída da chapa;
(c) o deslizamento avante (ou seja, a diferença relativa entre a velocidade periférica do rolo e a velocidade da chapa, expressa de forma habitual).
Observação: o enunciado fornece \sigma_{lim}, mas para os itens pedidos não é necessário usar esse valor — a condição geométrica de entrada e conservação de volume (com o alargamento) bastam. Vou seguir assim e explico por quê nos passos a seguir.

Passo 2

Entender a geometria do “ponto de mordida” (bite) e o ângulo de contato é crucial. Primeiro definimos o ângulo de meia-mordida \alpha (metade do ângulo de contato entre chapa e rolo). A redução de espessura \Delta h é
\Delta h = h_0 - h_1.
Geometricamente, pelo esquema do perfil do rolo, a relação entre \Delta h, o raio R e o ângulo \alpha é (fórmula padrão de laminação):
\sin\alpha = \frac{\Delta h}{2R}.
Explicação simples: a redução total \Delta h ocorre ao longo dos dois lados da região de contato, então metade da redução corresponde à “flecha” associada ao ângulo \alpha em cada lado do rolo; por trigonometria do triângulo formado pelo raio e pela corda de contato obtemos a relação acima. Não é necessário um desenho complicado — basta lembrar dessa relação clássica.
A condição mínima para que a chapa seja puxada para dentro (em vez de escapar) é que a força de atrito na superfície do rolo seja suficiente para vencer a componente longitudinal resistiva. Para laminação plana a condição prática e usual é
\mu_{\min} = \tan\alpha.
Raciocínio curto: se \mu<\tan\alpha a componente tangencial máxima disponível por atrito \mu p é insuficiente para equilibrar as forças que tendem a expulsar a chapa; se \mu\ge\tan\alpha o material é atraído para dentro. Essa é a condição usada em provas e exercícios de laminação.

Passo 3

Calcular numericamente \alpha e \mu_{\min}.
Primeiro \Delta h:
\Delta h = h_0 - h_1 = 0{,}042 - 0{,}034 = 0{,}008\\ \mathrm{m}.
Usando \sin\alpha = \dfrac{\Delta h}{2R}:
\sin\alpha = \frac{0{,}008}{2\cdot 0{,}325} = \frac{0{,}008}{0{,}65} = 0{,}012307692\ldots
Para ângulos pequenos \alpha\approx\sin\alpha, mas vou obter \tan\alpha corretamente com trigonometria:
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}.
Inserindo o valor:
\tan\alpha \approx \frac{0{,}012307692}{\sqrt{1-(0{,}012307692)^2}} \approx 0{,}0123086.
Logo o mínimo coeficiente de atrito é aproximadamente
\mu_{\min} \approx 0{,}01231.
Interpretação: é um valor pequeno (cerca de 1{,}23\%), compatível com o fato de a redução ser pequena e o raio do rolo grande — pouco atrito basta para “puxar” a lâmina.

Passo 4

Agora a velocidade de saída. Usamos conservação de fluxo volumétrico (ou área, para chapa de largura w e espessura h em regime estacionário), isto é
v_{\text{in}}\,h_0\,w_0 = v_{\text{out}}\,h_1\,w_1.
O enunciado informa que a chapa alarga 4\%, então w_1 = 1{,}04\,w_0. Eliminando w_0:
v_{\text{out}} = v_{\text{in}}\cdot\frac{h_0}{h_1\cdot 1{,}04}.
Substituindo números (mantendo \mathrm{m/min}):
v_{\text{out}} = 15{,}0\\ \frac{\mathrm{m}}{\min}\cdot\frac{0{,}042}{0{,}034\cdot 1{,}04}.
Calculemos a razão:
\frac{0{,}042}{0{,}034\cdot 1{,}04}=\frac{0{,}042}{0{,}03536}\approx 1{,}1870.
Portanto
v_{\text{out}}\approx 15{,}0\times 1{,}1870 \approx 17{,}805\\ \mathrm{m/min}.
Arredondando de forma prática, v_{\text{out}}\approx 17{,}81\\ \mathrm{m/min}. Se desejar em \mathrm{m/s}: 17{,}805/60\approx 0{,}2968\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade periférica do rolo u e o deslizamento avante.
A velocidade periférica do rolo é
u = 2\pi R\cdot\frac{N}{60}.
Substituindo:
u = 2\pi\cdot 0{,}325\\ \mathrm{m}\cdot\frac{49{,}0}{60}\approx 1{,}66766\\ \mathrm{m/s}.
Em \mathrm{m/min} isso é u\cdot 60 \approx 100{,}06\\ \mathrm{m/min}.
O deslizamento avante (definição usada aqui: fração da velocidade periférica perdida, i.e., diferença relativa entre velocidade do rolo e velocidade da chapa de saída) é
s = \frac{u - v_{\text{out (em m/s)}}}{u}=1-\frac{v_{\text{out}}}{u}.
Converter v_{\text{out}} para \mathrm{m/s}: v_{\text{out}} = 17{,}805/60 \approx 0{,}29675\\ \mathrm{m/s}.
Então
s = 1 - \frac{0{,}29675}{1{,}66766}\approx 1 - 0{,}17795 \approx 0{,}82205.
Em porcentagem, isso é cerca de 82{,}2\% de deslizamento avante (o que indica que a chapa sai bem mais devagar que a superfície do rolo — não é incomum em laminação de chapas grossas com redução significativa).

Passo 6

Resumo numérico (antes da resposta final):
  • \mu_{\min}\approx 0{,}01231.
  • v_{\text{out}}\approx 17{,}805\\ \mathrm{m/min} (ou 0{,}29675\\ \mathrm{m/s}).
  • s\approx 0{,}82205 (ou 82{,}2\%).
Pequeno incentivo: está indo bem — os cálculos usam apenas trigonometria básica, conservação de área e definição de velocidade periférica; tudo o que cai na prova costuma ser desse nível. Agora confira os valores finais abaixo.

Resposta

(a) \mu_{\min}\approx 0{,}01231
(b) v_{\text{out}}\approx 17{,}805\\ \mathrm{m/min}
(c) s\approx 0{,}82205 (ou 82{,}2\%)

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