Um peça cilíndrica é forjada a morno em uma operação de recalcamento em matriz aberta. O diâmetro inicial é 45 mm e altura inicial é 40 mm . A altura, após o forjamento, é 25 mm .0 coeficiente de atrito na interface metal-matriz é 0,20 . O limite de resistência do material de trabalho é 285 MPa , e sua curva de escoamento é definida por coeficiente de resistência de 600 MPa e expoente de encruamento de 0,12 . Determine a força na operação a uma altura de 30 mm

Passo 1

O enunciado pede a força de forjamento numa operação de recalcamento (matriz aberta) quando a peça tem altura 30\\ \text{mm}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{diâmetro inicial: } d_0 = 45\\ \text{mm},\\\ &\text{altura inicial: } h_0 = 40\\ \text{mm},\\\ &\text{altura no instante pedido: } h = 30\\ \text{mm},\\\ &\text{coeficiente de atrito (Coulomb): } \mu = 0,20,\\\ &\text{limite de resistência (dado adicional): } 285\\ \text{MPa} \quad(\text{não será usado diretamente}),\\\ &\text{curva de escoamento (lei de potência): } \sigma = K\,\varepsilon^{n}\\ \text{com } K = 600\\ \text{MPa},\\ n = 0,12. \end{aligned}âêãáê
Pergunta explícita: determinar a força P quando h=30\\ \text{mm}.

Passo 2

Conservação de volume: durante o escoamento plástico, assumimos volume constante. Para o cilindro,
V = \frac{\pi}{4} d^2 h = \text{constante}.
Logo o diâmetro d na altura h satisfaz
d = d_0 \sqrt{\frac{h_0}{h}}.
Aplicando os números:
d = 45\\ \text{mm}\,\sqrt{\frac{40}{30}} = 45\\ \text{mm}\,\sqrt{\tfrac{4}{3}} = 45\\ \text{mm}\times 1,154700538 = 51,961524\\ \text{mm}.
(Arredondarei nas próximas contas com cuidado.)

Passo 3

Definição de deformação verdadeira (logarítmica) para compressão axial: ao reduzir a altura de h_0 para h, a deformação verdadeira de compressão é
\varepsilon = \ln\!\left(\frac{h_0}{h}\right).
Esta é a medida natural de deformação usada em regimes plásticos grandes, pois é aditiva em processos sucessivos. Aqui:
\varepsilon = \ln\!\left(\frac{40}{30}\right) = \ln(1,\overline{3}) \approx 0,287682.

Passo 4

Cálculo da tensão média de escoamento usada para estimar a pressão de forjamento. Para uma lei de potência do tipo \sigma = K\,\varepsilon^{n}, uma aproximação comum para a tensão média efetiva é
\bar{\sigma} = K\,\varepsilon^{n},
onde K é o coeficiente de resistência e n o expoente de encruamento. Explicando: \bar{\sigma} representa uma tensão média que caracteriza o esforço necessário para continuar deformando o metal até a deformação \varepsilon. Aplicando:
\bar{\sigma} = 600\\ \text{MPa}\times (0,287682)^{0,12}.
Calculando o expoente:
(0,287682)^{0,12} = \exp\big(0,12\ln(0,287682)\big) \approx 0,860973,
logo
\bar{\sigma} \approx 600\times 0,860973 \approx 516,58\\ \text{MPa}.

Passo 5

Cálculo da área da seção transversal no instante considerado. Área circular:
A = \frac{\pi}{4} d^2.
Usando d^2 = 2700\\ \text{mm}^2 (pois (51,9615)^2 \approx 2700):
A = \frac{\pi}{4}\times 2700 = 675\pi \approx 2120,575\\ \text{mm}^2.
Observação prática: trabalhar com a forma \frac{\pi}{4}d^2 evita erros de arredondamento.

Passo 6

Escolha da fórmula para a força de forjamento com atrito na matriz aberta. Não foi imposto um método no enunciado, então seguimos a prática comum em problemas de recalcamento: uma expressão simples e amplamente usada (resultado da análise por blocos/simplificação) para a força P é
P = \bar{\sigma}\,A\left(1 + 2\mu\frac{d}{h}\right).
Justificativa curta (intuitiva): \bar{\sigma}A é a força ideal sem atrito; o fator entre parênteses corrige o efeito do atrito nas superfícies de contato que aumenta a carga necessária. A forma 1+2\mu(d/h) é uma aproximação prática e comum para estimativas rápidas em matriz aberta. Aqui \mu é o coeficiente de atrito Coulombiano, d o diâmetro atual e h a altura atual.

Passo 7

Calcular o termo de atrito:
2\mu\frac{d}{h} = 2\times 0,20\times\frac{51,961524}{30} = 0,4\times 1,7320508 \approx 0,6928203.
Portanto o fator multiplicador total é
1 + 2\mu\frac{d}{h} \approx 1 + 0,6928203 = 1,6928203.

Passo 8

Agora calculamos a força P. Primeiro \bar{\sigma}A:
\bar{\sigma}A \approx 516,58\\ \text{MPa}\times 2120,575\\ \text{mm}^2 \approx 1,095\,453,7\\ \text{N}.
Multiplicando pelo fator de atrito:
P \approx 1,095\,453,7\\ \text{N}\times 1,6928203 \approx 1,854\,103,7\\ \text{N}.
Arredondando para três algarismos significativos, isso é cerca de 1,85\times10^{6}\\ \text{N}, ou em unidades mais usuais para forjamento:
P \approx 1.854\\ \text{kN}.

Resposta

P \approx 1,85\times10^{6}\\ \text{N}

Exercícios relacionados