Uma chapa de metal aquecida, está situada no plano xy de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (3,4) é de 100 graus. Um objeto se encontra no ponto P0(52, 4). Se o objeto se mover na direção do vetor u=lang<= -1,-3 rang<=, ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?

Passo 1

Temos uma chapa metálica no plano xy cuja temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância desse ponto à origem. Ou seja, se r=√(x²+y²), então T(x,y)=k/r para alguma constante k. No ponto (3,4) sabemos que T=100. O objeto parte de P₀=(5/2,4) e se move na direção do vetor u=⟨−1,−3⟩. O que se pede é a derivada direcional de T em P₀ na direção de u (para ver se T aumenta ou diminui e com que taxa).

Passo 2

Usando o ponto (3,4) temos r(3,4)=5. Como T(3,4)=k/5=100, segue que k=500. Portanto
T(x,y)=500raizx^2+y^2.

Passo 3

Para achar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente. Escrevendo T(x,y)=500(x2+y2)^{-1/2} e aplicando regra da cadeia,
partial Tpartial x=-500cdottfrac12(x^2+y^2)^-3/2cdot2x=-500,x,(x^2+y^2)^-3/2, partial Tpartial y=-500,y,(x^2+y^2)^-3/2

Passo 4

Em P₀=(5/2,4) temos r₀=√((5/2)²+4²)=√(89)/2. Logo
$$\nabla T(P₀)=\Bigl\langle -500\frac{5/2}{(r₀)3},,-500\frac{4}{(r₀)3}\Bigr\rangle
=\Bigl\langle -\frac{10000}{89{3/2}},,-\frac{16000}{89{3/2}}\Bigr\rangle.$$

Passo 5

O vetor u deve ser normalizado: ||u||=√10, então
hat u=llang<= -1raiz10,-3raiz10rrang<=

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar gradiente·û:
Dhat uT=nabla T(P₀)cdothat u =-1000089^3/2l(-1raiz10r)+-1600089^3/2l(-3raiz10r) =58000raiz10,89^3/2

Passo 7

Como esse valor é positivo, a temperatura aumenta (o objeto aquece) na direção de u, à taxa encontrada.

Resposta

O objeto aquece e a taxa de variação da temperatura na direção de u é
Dhat uT=58000raiz10,89^3/2approx21,8 graus por unidade de deslocamento

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