Uma chapa de metal aquecida, está situada no plano xy de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em
é de 100 graus. Um objeto se encontra no ponto
. Se o objeto se mover na direção do vetor
, ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?
Passo 1
Temos uma chapa metálica no plano xy cuja temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância desse ponto à origem. Ou seja, se r=√(x²+y²), então T(x,y)=k/r para alguma constante k. No ponto (3,4) sabemos que T=100. O objeto parte de P₀=(5/2,4) e se move na direção do vetor u=⟨−1,−3⟩. O que se pede é a derivada direcional de T em P₀ na direção de u (para ver se T aumenta ou diminui e com que taxa).
Passo 2
Usando o ponto (3,4) temos r(3,4)=5. Como T(3,4)=k/5=100, segue que k=500. Portanto
Passo 3
Para achar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente. Escrevendo T(x,y)=500(x2+y2)^{-1/2} e aplicando regra da cadeia,
Passo 4
Em P₀=(5/2,4) temos r₀=√((5/2)²+4²)=√(89)/2. Logo
$$\nabla T(P₀)=\Bigl\langle -500\frac{5/2}{(r₀)3},,-500\frac{4}{(r₀)3}\Bigr\rangle
=\Bigl\langle -\frac{10000}{89{3/2}},,-\frac{16000}{89{3/2}}\Bigr\rangle.$$
Passo 5
O vetor u deve ser normalizado: ||u||=√10, então
Passo 6
A derivada direcional é o produto escalar gradiente·û:
Passo 7
Como esse valor é positivo, a temperatura aumenta (o objeto aquece) na direção de u, à taxa encontrada.
Resposta
O objeto aquece e a taxa de variação da temperatura na direção de u é