Encontre os valores das constantes
e
que tornam a função
derivável em
.
Dica: Analise também a continuidade da função
uma vez que uma função derivável deve ser contínua.
Dica: Analise também a continuidade da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes $ m $ e $ n $ que fazem a função $ f $ ser derivável em todo o intervalo real. Isso significa que não pode ter “quebras” ou “pontas” na função. Para isso, vamos precisar garantir que a função seja contínua e que a derivada dela também seja contínua. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso é importante porque, para a função ser derivável, ela precisa ser contínua primeiro. A função $ f(x) $ tem duas partes:
Para que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $, o valor da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao valor quando $ x $ se aproxima pela direita.
Calculando o limite pela esquerda:
Calculando o limite pela direita:
Para a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada da função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que a derivada pela esquerda deve ser igual à derivada pela direita nesse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas das duas partes da função:
Para $ x \leq 2 $:
Para $ x > 2 $:
Agora, calculamos a derivada em $ x = 2 $ de ambos os lados:
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Para a continuidade da derivada:
Passo 4
Agora que temos duas equações, podemos resolver para $ m $ e $ n $.
Da Equação 2:
Substituindo $ m = 4 $ na Equação 1:
Resposta
Os valores que tornam a função derivável em todo o intervalo são $ m = 4 $ e $ n = -4 $.