Encontre os valores das constantes m e n que tornam a função f derivável em (-infty,+infty).
Dica: Analise também a continuidade da função f uma vez que uma função derivável deve ser contínua.
f(x)=cc x^2, & se x <= 2 m x+n & se x>2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes $ m $ e $ n $ que fazem a função $ f $ ser derivável em todo o intervalo real. Isso significa que não pode ter “quebras” ou “pontas” na função. Para isso, vamos precisar garantir que a função seja contínua e que a derivada dela também seja contínua. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso é importante porque, para a função ser derivável, ela precisa ser contínua primeiro. A função $ f(x) $ tem duas partes:
x = 2
Para que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $, o valor da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao valor quando $ x $ se aproxima pela direita.
Calculando o limite pela esquerda:
f(x)
Calculando o limite pela direita:
f(x) = x^2, & se x <= 2 m x + n, & se x > 2
Para a continuidade:
f(x) çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada da função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que a derivada pela esquerda deve ser igual à derivada pela direita nesse ponto.
Primeiro, encontramos as derivadas das duas partes da função:
Para $ x \leq 2 $:
x = 2
Para $ x > 2 $:
x <= 2
Agora, calculamos a derivada em $ x = 2 $ de ambos os lados:
Derivada pela esquerda:
f'(x) = ddx(x^2) = 2x
Derivada pela direita:
x > 2
Para a continuidade da derivada:
f'(x) = ddx(m x + n) = m çã

Passo 4

Agora que temos duas equações, podemos resolver para $ m $ e $ n $.
Da Equação 2:
m
Substituindo $ m = 4 $ na Equação 1:
n

Resposta

Os valores que tornam a função derivável em todo o intervalo são $ m = 4 $ e $ n = -4 $.

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