Encontre os valores das constantes m e n que tornam a função f derivável em (-infty,+infty).
Dica: Analise também a continuidade da função f uma vez que uma função derivável deve ser contínua.
f(x)=cc m x+n, & se x<2 2 x^2-1 & se x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores das constantes $ m $ e $ n $ que fazem com que a função $ f $ seja derivável em todo o domínio dos números reais. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções. Precisamos garantir que a função não tenha “quebras” e que a inclinação (derivada) seja a mesma dos dois lados em $ x = 2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 2 $.
Matematicamente:
x = 2

Passo 3

Vamos calcular esses limites.
Para $ x < 2 $, $ f(x) = m x + n $. Então:
x < 2
Para $ x \geq 2 $, $ f(x) = 2x^2 - 1 $. Então:
f(x) = m x + n
E $ f(2) = 2 \cdot (2)^2 - 1 = 7 $.

Passo 4

Igualando os limites para garantir a continuidade:
2m + n = 7
Essa é nossa primeira equação.

Passo 5

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em $ x = 2 $. Para isso, as derivadas pelo lado esquerdo e pelo lado direito em $ x = 2 $ devem ser iguais.
A derivada da função para $ x < 2 $ é:
x = 2
A derivada da função para $ x \geq 2 $ é:
x = 2

Passo 6

Calculando as derivadas em $ x = 2 $:
x = 2
f'(2^-) = m
Para a função ser derivável, essas duas derivadas devem ser iguais:
f'(2^+) = 4 cdot 2 = 8

Passo 7

Agora que sabemos que $ m = 8 $, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar $ n $:
m = 8
n
2 cdot 8 + n = 7
16 + n = 7

Resposta

Os valores das constantes que tornam a função derivável em $ (-\infty, +\infty) $ são $ m = 8 $ e $ n = -9 $.

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