Encontre os valores das constantes
e
que tornam a função
derivável em
.
Dica: Analise também a continuidade da função
uma vez que uma função derivável deve ser contínua.
Dica: Analise também a continuidade da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores das constantes $ m $ e $ n $ que fazem com que a função $ f $ seja derivável em todo o domínio dos números reais. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções. Precisamos garantir que a função não tenha “quebras” e que a inclinação (derivada) seja a mesma dos dois lados em $ x = 2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 2 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 2 $.
Matematicamente:
Passo 3
Vamos calcular esses limites.
Para $ x < 2 $, $ f(x) = m x + n $. Então:
Para $ x \geq 2 $, $ f(x) = 2x^2 - 1 $. Então:
E $ f(2) = 2 \cdot (2)^2 - 1 = 7 $.
Passo 4
Igualando os limites para garantir a continuidade:
Essa é nossa primeira equação.
Passo 5
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em $ x = 2 $. Para isso, as derivadas pelo lado esquerdo e pelo lado direito em $ x = 2 $ devem ser iguais.
A derivada da função para $ x < 2 $ é:
A derivada da função para $ x \geq 2 $ é:
Passo 6
Calculando as derivadas em $ x = 2 $:
Para a função ser derivável, essas duas derivadas devem ser iguais:
Passo 7
Agora que sabemos que $ m = 8 $, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar $ n $:
Resposta
Os valores das constantes que tornam a função derivável em $ (-\infty, +\infty) $ são $ m = 8 $ e $ n = -9 $.