Uma chapa de metal aquecida está situada no plano
de tal modo que a temperatura em cada ponto é diretamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em
é de
. Suponha que os eixos positivos
e
apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto
.
a) (1,0 pts) Se o objeto se mover para o norte, ele aquecerá ou esfriará? E para o sul? E para o leste? E para o oeste? Justifique;
b) (1,0 pts) Se o objeto se mover para o nordeste, ele aquecerá ou esfriará? E para o sudeste? E para o noroeste? E para o sudoeste? Justifique.
a) (1,0 pts) Se o objeto se mover para o norte, ele aquecerá ou esfriará? E para o sul? E para o leste? E para o oeste? Justifique;
b) (1,0 pts) Se o objeto se mover para o nordeste, ele aquecerá ou esfriará? E para o sudeste? E para o noroeste? E para o sudoeste? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura é diretamente proporcional à distância ao polo
. Logo existe constante
tal que, para todo
,
Sabemos que . Usaremos isso para achar
, depois calculamos o gradiente em
e avaliamos as derivadas direcionais nos movimentos pedidos.
Passo 2
Em
a distância ao polo é
. Como
segue que
. Portanto
Passo 3
Calculamos o gradiente de
. Como
com
, vale
Em
temos
, então
Passo 4
A derivada direcional na direção unitária
é
Interpretação: se
aquece; se
esfria; se
não muda.
Passo 5
Para os movimentos cardeais em
:
- norte
:
→ temperatura fica constante. - sul
: mesma conta dá → constante. - leste
:
→ aquece. - oeste
:
→ esfria.
Passo 6
Para as diagonais, use vetores unitários de coordenadas
:
- nordeste
:
→ aquece. - sudeste
:
→ aquece. - noroeste
:
→ esfria. - sudoeste
:
→ esfria.
Resposta
a) Norte: não muda. Sul: não muda. Leste: aquece. Oeste: esfria.
b) Nordeste: aquece. Sudeste: aquece. Noroeste: esfria. Sudoeste: esfria.
b) Nordeste: aquece. Sudeste: aquece. Noroeste: esfria. Sudoeste: esfria.