Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura em cada ponto é diretamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (5,12) é de 65^circ C. Suponha que os eixos positivos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P0=(2,0).
a) (1,0 pts) Se o objeto se mover para o norte, ele aquecerá ou esfriará? E para o sul? E para o leste? E para o oeste? Justifique;
b) (1,0 pts) Se o objeto se mover para o nordeste, ele aquecerá ou esfriará? E para o sudeste? E para o noroeste? E para o sudoeste? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura é diretamente proporcional à distância ao polo . Logo existe constante tal que, para todo ,
Sabemos que . Usaremos isso para achar , depois calculamos o gradiente em e avaliamos as derivadas direcionais nos movimentos pedidos.

Passo 2

Em (5,12) a distância ao polo é raiz5^2+12^2=raiz25+144=13. Como
T(5,12)=kcdot13=65,
segue que k=65/13=5. Portanto
T(x,y)=5raizx^2+y^2

Passo 3

Calculamos o gradiente de T. Como T(r)=5r com r=raizx^2+y^2, vale
partial Tpartial x =5xraizx^2+y^2, partial Tpartial y =5yraizx^2+y^2
Em P0=(2,0) temos r=raiz2^2+0^2=2, então
nabla T(2,0) =l(5cdottfrac22,,5cdottfrac02r) =(5,0)

Passo 4

A derivada direcional na direção unitária u é
D uT =nabla T(2,0)cdot u
Interpretação: se D uT>0 aquece; se D uT<0 esfria; se D uT=0 não muda.

Passo 5

Para os movimentos cardeais em P0:
  • norte u=(0,1):
    nabla Tcdot u=5cdot0+0cdot1=0 → temperatura fica constante.
  • sul u=(0,-1): mesma conta dá 0 → constante.
  • leste u=(1,0):
    nabla Tcdot u=5cdot1+0cdot0=5>0 → aquece.
  • oeste u=(-1,0):
    nabla Tcdot u=5cdot(-1)+0cdot0=-5<0 → esfria.

Passo 6

Para as diagonais, use vetores unitários de coordenadas pm1/raiz2:
  • nordeste u=(1/raiz2,1/raiz2):
    D uT=5cdot(1/raiz2)+0cdot(1/raiz2)=5/raiz2>0 → aquece.
  • sudeste u=(1/raiz2,-1/raiz2):
    D uT=5/raiz2>0 → aquece.
  • noroeste u=(-1/raiz2,1/raiz2):
    D uT=-5/raiz2<0 → esfria.
  • sudoeste u=(-1/raiz2,-1/raiz2):
    D uT=-5/raiz2<0 → esfria.

Resposta

a) Norte: não muda. Sul: não muda. Leste: aquece. Oeste: esfria.
b) Nordeste: aquece. Sudeste: aquece. Noroeste: esfria. Sudoeste: esfria.

Exercícios relacionados