Nos exercícios a seguir, resolva as equações lineares aplicando as condições iniciais indicadas.
lL d yd t+R y=E y(0)=y0 L, R, E são constantes ã

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
L,dydt + R,y = E,
com condição inicial y(0)=y0 e constantes L,R,E. O conteúdo é a solução de ODE linear com coeficientes constantes, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por L:
dydt + RL,y = EL

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(integral RL,dtr) = exp!l(tfracRL,tr)
Multiplicando a equação padrão por mu(t) obtemos
exp!l(tfracRLtr),dydt + RL,exp!l(tfracRLtr),y = EL,exp!l(tfracRLtr)

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada do produto mu(t),y, ou seja
ddtl[exp!l(tfracRLtr),yr] = EL,exp!l(tfracRLtr)
Integramos em t:
exp!l(tfracRLtr),y = ELintegral exp!l(tfracRLtr),dt + C = ELcdotLR,exp!l(tfracRLtr) + C,
isto é
exp!l(tfracRLtr),y = ER,exp!l(tfracRLtr) + C

Passo 5

Isolando y e aplicando y(0)=y0:
y(t) = ER + C,exp!l(-tfracRLtr),
em t=0 y0 = tfracER + C, logo
C = y0 - ER

Resposta

y(t) = ER + l(y0 - ERr)exp!l(-tfracRLtr)

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