Uma chapa de metal aquecida está situada sobre o plano x y de modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em P_{0} é de 100 graus. Determine a direção e o sentido em que a temperatura decresce mais rapidamente no ponto P_{0}.

Passo 1

O enunciado diz: a temperatura numa chapa (plano xy) é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. Em um ponto P_{0} a temperatura vale 100 graus. Pergunta-se: determinar a direção e o sentido em que a temperatura decresce mais rapidamente em P_{0}.
Informações relevantes que temos:
  • A temperatura T satisfaz a relação “inversamente proporcional à distância à origem”, isto é, existe uma constante k tal que T depende de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} por T(x,y)=k/r.
  • Em P_{0} a temperatura é 100 graus. Vou chamar P_{0}=(x_{0},y_{0}) e r_{0}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}.
  • O que é pedido: a direção e o sentido (seta) do maior decréscimo da temperatura em P_{0}.

Passo 2

Modelando matematicamente a temperatura: “inversamente proporcional à distância” significa
T(x,y)=\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{k}{r}.
Usando a informação em P_{0}:
T(P_{0})=100=\frac{k}{r_{0}}\quad\Rightarrow\quad k=100\,r_{0}.
Obs.: não precisamos do valor numérico de r_{0} para encontrar a direção do decréscimo, mas é útil saber como k se relaciona com r_{0}.

Passo 3

Conceito chave (explicado devagarinho): o vetor gradiente \nabla T de uma função escalar T(x,y) tem duas propriedades importantes:
  • \nabla T em um ponto indica a direção de maior crescimento de T naquele ponto.
  • O máximo decréscimo ocorre na direção oposta a \nabla T; ou seja, a direção de maior diminuição é -\nabla T.
Além disso, para uma função T(x,y),
\nabla T=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y}\right).
Então para achar a direção de maior queda basta calcular \nabla T em P_{0} e tomar o vetor oposto.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de T(x,y)=k(x^{2}+y^{2})^{-1/2} passo a passo (uso da regra da cadeia):
Primeiro escrevo T(x,y)=k\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial T}{\partial x} = k\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -k\,\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Analogamente, em relação a y:
\frac{\partial T}{\partial y} = -k\,\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla T(x,y)=\left(-k\frac{x}{r^{3}},\,-k\frac{y}{r^{3}}\right) = -\frac{k}{r^{3}}(x,y).

Passo 5

Avalio o gradiente em P_{0}=(x_{0},y_{0}) (com r_{0}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}):
\displaystyle \nabla T(P_{0})=-\frac{k}{r_{0}^{3}}(x_{0},y_{0}).
Este vetor é um múltiplo de -(x_{0},y_{0}), portanto aponta no sentido do vetor que vai de P_{0} para a origem (isto é, aponta para a origem). Pela propriedade do gradiente, esse é o sentido de maior aumento da temperatura em P_{0}.
Logo, o sentido de maior diminuição é o oposto de \nabla T(P_{0}), ou seja, é paralelo a (x_{0},y_{0}): aponta para fora, afastando-se da origem.
Um vetor unitário nessa direção (direção do maior decréscimo) é
\mathbf{u}=\frac{(x_{0},y_{0})}{r_{0}}.

Passo 6

Para completar: a taxa máxima de decréscimo (o declive máximo) em P_{0} é o negativo da norma do gradiente:
\max\\ \text{decréscimo} = -\big\lVert \nabla T(P_{0})\big\rVert = -\frac{k}{r_{0}^{2}}.é
Substituindo k=100\,r_{0} obtemos
\max\\ \text{decréscimo} = -\frac{100\,r_{0}}{r_{0}^{2}} = -\frac{100}{r_{0}}.é
Isto significa: movendo-se na direção unitária \mathbf{u}=(x_{0}/r_{0},y_{0}/r_{0}) (para fora), a temperatura diminui à taxa \displaystyle -\frac{100}{r_{0}} graus por unidade de comprimento.

Resposta

Direção: vetor radial dando de O para P_{0}, isto é, a direção do vetor \displaystyle (x_{0},y_{0}).\nSentido: afastando-se da origem (vetor unitário \displaystyle \mathbf{u}=\frac{(x_{0},y_{0})}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}).

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