Uma chapa de metal aquecida está situada sobre o plano x y de modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em P_{0} é de 100 graus. Determine a direção e o sentido em que a temperatura decresce mais rapidamente no ponto P_{0}.
Passo 1
O enunciado diz: a temperatura numa chapa (plano xy) é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. Em um ponto P_{0} a temperatura vale 100 graus. Pergunta-se: determinar a direção e o sentido em que a temperatura decresce mais rapidamente em P_{0}.
Informações relevantes que temos:
A temperatura T satisfaz a relação “inversamente proporcional à distância à origem”, isto é, existe uma constante k tal que T depende de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} por T(x,y)=k/r.
Em P_{0} a temperatura é 100 graus. Vou chamar P_{0}=(x_{0},y_{0}) e r_{0}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}.
O que é pedido: a direção e o sentido (seta) do maior decréscimo da temperatura em P_{0}.
Passo 2
Modelando matematicamente a temperatura: “inversamente proporcional à distância” significa
Este vetor é um múltiplo de -(x_{0},y_{0}), portanto aponta no sentido do vetor que vai de P_{0} para a origem (isto é, aponta para a origem). Pela propriedade do gradiente, esse é o sentido de maior aumento da temperatura em P_{0}.
Logo, o sentido de maior diminuição é o oposto de \nabla T(P_{0}), ou seja, é paralelo a (x_{0},y_{0}): aponta para fora, afastando-se da origem.
Um vetor unitário nessa direção (direção do maior decréscimo) é
\mathbf{u}=\frac{(x_{0},y_{0})}{r_{0}}.
Passo 6
Para completar: a taxa máxima de decréscimo (o declive máximo) em P_{0} é o negativo da norma do gradiente:
Isto significa: movendo-se na direção unitária \mathbf{u}=(x_{0}/r_{0},y_{0}/r_{0}) (para fora), a temperatura diminui à taxa \displaystyle -\frac{100}{r_{0}} graus por unidade de comprimento.
Resposta
Direção: vetor radial dando de O para P_{0}, isto é, a direção do vetor \displaystyle (x_{0},y_{0}).\nSentido: afastando-se da origem (vetor unitário \displaystyle \mathbf{u}=\frac{(x_{0},y_{0})}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}).