Calcule
em cada caso:
-
e
é o vetor unitário na direção do vetor
.
-
e
é o vetor unitário na direção do vetor
.
-
e
é o vetor unitário na direção do vetor
.
-
e
é o vetor unitário na direção do vetor
.
Passo 1
Vou organizar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos:
- Caso 1:
, . A direção é a do vetor . - Caso 2:
, . A direção é a do vetor . - Caso 3:
, . A direção é a do vetor . - Caso 4:
, . A direção é a do vetor .
O que nos pedem em cada caso é a derivada direcional de
em
na direção do vetor indicado — isto é, o quanto
cresce (ou decresce) ao nos movermos a partir de
na direção desse vetor.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula e como aplicá‑la (passo-a-passo, bem mastigado):
- A derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é dada por
Aqui
é o gradiente de
, e ``
’’ é o produto escalar entre vetores.
-
O gradiente
reúne as derivadas parciais: para duas variáveis e para três variáveis . Cada componente é a derivada de em relação àquela coordenada, mantendo as outras fixas. -
Se a direção dada for um vetor
, primeiro precisamos transformar em um vetor unitário dividindo por sua norma:
- O produto escalar para dois vetores em
, . No caso da derivada direcional fazemos .
Agora aplicamos isso item por item.
Passo 3
Caso 1 — calculemos as derivadas parciais e o gradiente.
-
. As derivadas parciais são
- Avaliando em
:
Logo
Passo 4
Caso 1 — obtenha o vetor unitário na direção de
e faça o produto escalar.
- O vetor dado é
. A norma é
- O vetor unitário é
- Produto escalar:
Passo 5
Caso 2 — calcule as derivadas parciais e o gradiente.
-
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de é ou conforme a variável. Assim
- Em
temos e . Então
Logo
Passo 6
Caso 2 — vetor unitário e produto escalar.
- Vetor dado
. Norma . - Vetor unitário
. - Produto escalar:
Passo 7
Caso 3 — calcule as derivadas parciais e o gradiente.
-
. Derivando parcialmente:
(Explicação rápida: para
a derivada em relação a
é
porque trata-se de produto e as outras letras são constantes; para
a derivada em
traz o fator
da derivada de
.)
- Em
calculemos : com , temos , então . - Agora avalie:
Logo
Passo 8
Caso 3 — vetor unitário e produto escalar.
- Vetor dado
. Norma
- Vetor unitário
- Produto escalar:
Calcule cada termo:
e
. Logo o resultado é
Passo 9
Caso 4 — gradiente em
.
-
. As derivadas parciais são
- Em
cada produto vale , logo
Passo 10
Caso 4 — vetor unitário e produto escalar.
- Vetor dado
. Norma
- Vetor unitário
- Produto escalar:
Racionalizando (opcional)
. Ambas expressões são equivalentes.