Calcule \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}\left(P_{0}\right) em cada caso:
  • f(x, y)=x^{2}-3 y^{2}, P_{0}=(1,2) e \vec{u} é o vetor unitário na direção do vetor 2 \vec{i}+\vec{j}.
  • f(x, y)=e^{x^{2}-y^{2}}, P_{0}=(1,1) e \vec{u} é o vetor unitário na direção do vetor \vec{v}=(3,4).
  • f(x, y, z)=x y z+e^{2 x+y}, P_{0}=(-1,2,1) e \vec{u} é o vetor unitário na direção do vetor \vec{v}=(1,1, \sqrt{2}).
  • f(x, y, z)=x y z, P_{0}=(1,1,1) e \vec{u} é o vetor unitário na direção do vetor \vec{w}=2 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que cada item pede e os dados fornecidos:
  • Caso 1: f(x,y)=x^{2}-3y^{2}, P_{0}=(1,2). A direção é a do vetor 2\vec{i}+\vec{j}.
  • Caso 2: f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}, P_{0}=(1,1). A direção é a do vetor \vec{v}=(3,4).
  • Caso 3: f(x,y,z)=x y z+e^{2x+y}, P_{0}=(-1,2,1). A direção é a do vetor \vec{v}=(1,1,\sqrt{2}).
  • Caso 4: f(x,y,z)=x y z, P_{0}=(1,1,1). A direção é a do vetor \vec{w}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.
O que nos pedem em cada caso é a derivada direcional de f em P_{0} na direção do vetor indicado — isto é, o quanto f cresce (ou decresce) ao nos movermos a partir de P_{0} na direção desse vetor.

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula e como aplicá‑la (passo-a-passo, bem mastigado):
  • A derivada direcional de f em P_{0} na direção do vetor unitário \vec{u} é dada por
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot \vec{u}.
Aqui \nabla f é o gradiente de f, e `` \cdot’’ é o produto escalar entre vetores.
  • O gradiente \nabla f reúne as derivadas parciais: para duas variáveis \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) e para três variáveis \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z). Cada componente é a derivada de f em relação àquela coordenada, mantendo as outras fixas.
  • Se a direção dada for um vetor \vec{v}, primeiro precisamos transformar em um vetor unitário \vec{u} dividindo por sua norma:
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},\qquad \|\vec{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+(\text{se houver }v_{3}^{2})}.
  • O produto escalar para dois vetores em \mathbb{R}^{n}, (a_{1},a_{2},\dots)\cdot(b_{1},b_{2},\dots)=\sum a_{i}b_{i}. No caso da derivada direcional fazemos \nabla f(P_{0})\cdot\vec{u}.
Agora aplicamos isso item por item.

Passo 3

Caso 1 — calculemos as derivadas parciais e o gradiente.
  • f(x,y)=x^{2}-3y^{2}. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-6y.
  • Avaliando em P_{0}=(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1=2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=-6\cdot 2=-12.
Logo
\nabla f(1,2)=(2,\,-12).

Passo 4

Caso 1 — obtenha o vetor unitário na direção de 2\vec{i}+\vec{j} e faça o produto escalar.
  • O vetor dado é \vec{v}=(2,1). A norma é
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • O vetor unitário é
\vec{u}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • Produto escalar:
\nabla f(1,2)\cdot\vec{u}= (2,\,-12)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2\cdot 2 + (-12)\cdot 1}{\sqrt{5}}=\frac{4-12}{\sqrt{5}}=-\frac{8}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Caso 2 — calcule as derivadas parciais e o gradiente.
  • f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}. Usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x,y)} é e^{g(x,y)}\cdot g_x ou g_y conforme a variável. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}-y^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
  • Em P_{0}=(1,1) temos x^{2}-y^{2}=1-1=0 e e^{0}=1. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot 1\cdot 1=2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-2\cdot 1\cdot 1=-2.
Logo
\nabla f(1,1)=(2,\,-2).

Passo 6

Caso 2 — vetor unitário e produto escalar.
  • Vetor dado \vec{v}=(3,4). Norma \|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Vetor unitário \vec{u}=(3/5,\,4/5).
  • Produto escalar:
\nabla f(1,1)\cdot\vec{u}=(2,\,-2)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) =\frac{2\cdot 3 + (-2)\cdot 4}{5}=\frac{6-8}{5}=-\frac{2}{5}.

Passo 7

Caso 3 — calcule as derivadas parciais e o gradiente.
  • f(x,y,z)=x y z+e^{2x+y}. Derivando parcialmente:
\frac{\partial f}{\partial x}=y z+2e^{2x+y},
\frac{\partial f}{\partial y}=x z+e^{2x+y},
\frac{\partial f}{\partial z}=x y.
(Explicação rápida: para x y z a derivada em relação a x é y z porque trata-se de produto e as outras letras são constantes; para e^{2x+y} a derivada em x traz o fator 2 da derivada de 2x+y.)
  • Em P_{0}=(-1,2,1) calculemos e^{2x+y}: com x=-1, y=2 temos 2x+y=-2+2=0, então e^{2x+y}=e^{0}=1.
  • Agora avalie:
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2,1)=y z+2\cdot 1=2\cdot 1+2=4,
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,2,1)=x z+1=(-1)\cdot 1+1=0,
\frac{\partial f}{\partial z}(-1,2,1)=x y=(-1)\cdot 2=-2.
Logo
\nabla f(-1,2,1)=(4,\,0,\,-2).

Passo 8

Caso 3 — vetor unitário e produto escalar.
  • Vetor dado \vec{v}=(1,1,\sqrt{2}). Norma
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2.
  • Vetor unitário
\vec{u}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Produto escalar:
\nabla f(-1,2,1)\cdot\vec{u}=(4,0,-2)\cdot\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =4\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\frac{1}{2}+(-2)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Calcule cada termo: 4\cdot\frac{1}{2}=2 e (-2)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}. Logo o resultado é
2-\sqrt{2}.

Passo 9

Caso 4 — gradiente em P_{0}.
  • f(x,y,z)=x y z. As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=y z,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x z,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=x y.
  • Em P_{0}=(1,1,1) cada produto vale 1\cdot 1=1, logo
\nabla f(1,1,1)=(1,\,1,\,1).

Passo 10

Caso 4 — vetor unitário e produto escalar.
  • Vetor dado \vec{w}=(2,1,-1). Norma
\|\vec{w}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
  • Vetor unitário
\vec{u}=\left(\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{-1}{\sqrt{6}}\right).
  • Produto escalar:
\nabla f(1,1,1)\cdot\vec{u}=(1,1,1)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{-1}{\sqrt{6}}\right) =\frac{2+1-1}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}.
Racionalizando (opcional) \frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}. Ambas expressões são equivalentes.

Resposta

-\dfrac{8}{\sqrt{5}}
-\dfrac{2}{5}
2-\sqrt{2}
\dfrac{\sqrt{6}}{3}

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