Seja f(x, y)=x \cos y-y e^{x}. Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}. Obs: Como f é de classe C^{2} em \mathbb{R}^{2}, essas derivadas são iguais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x\cos y - y e^{x} e pede para calcular as duas derivadas parciais mistas \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}. Foi observado que f é de classe C^{2} em \mathbb{R}^{2}, portanto as duas derivadas mistas devem coincidir no final. As informações relevantes: a expressão explícita de f e a regularidade C^{2}.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a derivada parcial de f em relação a x. Lembrete didático: ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y como constante; isso significa que, se vemos um fator que depende só de y, ele se comporta como uma constante durante a derivação em x.
Aplique isso a cada termo de f:
  • Para x\cos y: \cos y é constante (em relação a x), e a derivada de x em relação a x é 1. Logo a derivada é \cos y.
  • Para -y e^{x}: y é constante e e^{x} tem derivada e^{x}. Portanto a derivada é -y e^{x}.
Assim obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = \cos y - y e^{x}.

Passo 3

Agora derivamos parcialmente \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y para obter \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}. Lembrete didático: ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
Começando de \frac{\partial f}{\partial x} = \cos y - y e^{x}:
  • A derivada de \cos y em relação a y é -\sin y.
  • No termo -y e^{x}, e^{x} é constante (pois depende só de x), então a derivada de -y e^{x} em relação a y é -e^{x} (derivada de -y é -1, multiplicada por e^{x}).
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = -\sin y - e^{x}.

Passo 4

Agora vamos na ordem inversa: primeiro a derivada parcial de f em relação a y. Lembrete didático: ao derivar parcialmente em relação a y tratamos x como constante.
Aplique isso termo a termo:
  • Para x\cos y: x é constante e a derivada de \cos y em relação a y é -\sin y. Logo a derivada é -x\sin y.
  • Para -y e^{x}: e^{x} é constante (em relação a y), então a derivada é -e^{x}.
Assim
\frac{\partial f}{\partial y} = -x\sin y - e^{x}.

Passo 5

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial y} em relação a x para obter \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}. Lembrete didático: ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
Partindo de \frac{\partial f}{\partial y} = -x\sin y - e^{x}:
  • No termo -x\sin y, \sin y é constante, e a derivada de -x em relação a x é -1. Logo a derivada desse termo é -\sin y.
  • A derivada de -e^{x} em relação a x é -e^{x}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = -\sin y - e^{x}.

Passo 6

Comparamos os resultados das duas ordens:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = -\sin y - e^{x}
e
\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = -\sin y - e^{x}.
Eles coincidem, como era de se esperar pela hipótese de f ser de classe C^{2} (teorema de igualdade das derivadas mistas de Clairaut/Schwarz).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = -\sin y - e^{x}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = -\sin y - e^{x}

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