Seja
. Calcule
e
. Obs: Como
é de classe
em
, essas derivadas são iguais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as duas derivadas parciais mistas
e
. Foi observado que
é de classe
em
, portanto as duas derivadas mistas devem coincidir no final. As informações relevantes: a expressão explícita de
e a regularidade
.
Passo 2
Vamos calcular primeiro a derivada parcial de
em relação a
. Lembrete didático: ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante; isso significa que, se vemos um fator que depende só de
, ele se comporta como uma constante durante a derivação em
.
Aplique isso a cada termo de
:
- Para
: é constante (em relação a ), e a derivada de em relação a é . Logo a derivada é . - Para
: é constante e tem derivada . Portanto a derivada é .
Assim obtemos
Passo 3
Agora derivamos parcialmente
em relação a
para obter
. Lembrete didático: ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Começando de
:
- A derivada de
em relação a é . - No termo
, é constante (pois depende só de ), então a derivada de em relação a é (derivada de é , multiplicada por ).
Portanto
Passo 4
Agora vamos na ordem inversa: primeiro a derivada parcial de
em relação a
. Lembrete didático: ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constante.
Aplique isso termo a termo:
- Para
: é constante e a derivada de em relação a é . Logo a derivada é . - Para
: é constante (em relação a ), então a derivada é .
Assim
Passo 5
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Lembrete didático: ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Partindo de
:
- No termo
, é constante, e a derivada de em relação a é . Logo a derivada desse termo é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 6
Comparamos os resultados das duas ordens:
e
Eles coincidem, como era de se esperar pela hipótese de
ser de classe
(teorema de igualdade das derivadas mistas de Clairaut/Schwarz).