Calcule
:
-
, onde
e
.
-
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em duas situações diferentes. As informações dadas são:
- Caso (a):
, com e . - Caso (b):
, com e .
O objetivo é aplicar as informações de
e
para obter a derivada total
em cada caso.
Passo 2
Vamos revisar a ferramenta principal que precisamos: a regra da cadeia para funções de várias variáveis (aquela que salva a prova quando aparecem compostos do tipo
com
e
dependendo de
).
Se
e
,
, então a derivada total de
em relação a
é dada por
O que isso significa, em palavras: mudamos
um pouco;
muda e isso afeta
segundo
;
muda e isso afeta
segundo
. Somamos os efeitos. Cada pedaço é um produto: sensibilidade parcial
taxa de variação da variável.
Vou sempre aplicar essa fórmula passo a passo: primeiro calculo
e
(tratando
e
como independentes), depois
e
, e por fim monto a soma.
Passo 3
Resolver (a):
,
,
.
- Calcular as derivadas parciais. Seja
. Então . Pela regra da cadeia para derivadas parciais:
porque
.
De forma análoga,
De forma análoga,
Expliquei: a derivada de
é
vezes a derivada de
; aqui
.
- Calcular
e :
- Aplicar a regra da cadeia:
- Substituir
e :
Calculemos o parêntese com calma:
, então
.
- Concluir:
Passo 4
Comentário prático (dica de prova): uma forma curta de ver o passo anterior é notar que
e
têm fator comum
, então
onde
e
. Isso é útil para organizar contas rápidas na prova. Mas já fiz as contas explícitas acima para você poder copiar sem erro.
Passo 5
Resolver (b):
,
,
.
- Calcular as derivadas parciais. Para
com , temos . Aplicando a cadeia para cada parcial:
De modo semelhante,
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
; o 1 e
são constantes ao derivar em relação a
.
- Calcular
e :
- Aplicar a regra da cadeia:
Fatorando
fica
- Substituir
e e simplificar com calma:
Portanto o numerador é zero.
- Observação alternativa e muito rápida (truque de prova): como
e , temos . Assim , que é constante; logo imediatamente. Ambos os raciocínios chegam ao mesmo resultado.