Calcule \frac{d z}{d t} :
  • z=\sin (x y), onde x=3 t e y=t^{2}.
  • z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right), onde x=\sin (3 t) e y=\cos (3 t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dz}{dt} em duas situações diferentes. As informações dadas são:
  • Caso (a): z=\sin(xy), com x=3t e y=t^{2}.
  • Caso (b): z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr), com x=\sin(3t) e y=\cos(3t).
O objetivo é aplicar as informações de x(t) e y(t) para obter a derivada total \dfrac{dz}{dt} em cada caso.

Passo 2

Vamos revisar a ferramenta principal que precisamos: a regra da cadeia para funções de várias variáveis (aquela que salva a prova quando aparecem compostos do tipo z=f(x,y) com x e y dependendo de t).
Se z=f(x,y) e x=x(t), y=y(t), então a derivada total de z em relação a t é dada por
\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}.
O que isso significa, em palavras: mudamos t um pouco; x muda e isso afeta z segundo \partial z/\partial x; y muda e isso afeta z segundo \partial z/\partial y. Somamos os efeitos. Cada pedaço é um produto: sensibilidade parcial \times taxa de variação da variável.
Vou sempre aplicar essa fórmula passo a passo: primeiro calculo \partial z/\partial x e \partial z/\partial y (tratando x e y como independentes), depois \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}, e por fim monto a soma.

Passo 3

Resolver (a): z=\sin(xy), x=3t, y=t^{2}.
  1. Calcular as derivadas parciais. Seja u=xy. Então z=\sin(u). Pela regra da cadeia para derivadas parciais:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\cos(xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y,
porque \partial(xy)/\partial x=y.
De forma análoga,
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\cos(xy)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
Expliquei: a derivada de \sin(u) é \cos(u) vezes a derivada de u; aqui u=xy.
  1. Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(3t)=3,\qquad \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
  1. Aplicar a regra da cadeia:
\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} =\cos(xy)\,y\cdot 3+\cos(xy)\,x\cdot 2t.
  1. Substituir x=3t e y=t^{2}:
\dfrac{dz}{dt}=\cos(3t\cdot t^{2})\bigl(3t^{2}+2t\cdot 3t\bigr).
Calculemos o parêntese com calma: 2t\cdot 3t=6t^{2}, então 3t^{2}+6t^{2}=9t^{2}.
  1. Concluir:
\dfrac{dz}{dt}=9t^{2}\cos(3t^{3}).

Passo 4

Comentário prático (dica de prova): uma forma curta de ver o passo anterior é notar que \partial z/\partial x e \partial z/\partial y têm fator comum \cos(xy), então
\dfrac{dz}{dt}=\cos(xy)\bigl(yx'+x y'\bigr),
onde x'=dx/dt e y'=dy/dt. Isso é útil para organizar contas rápidas na prova. Mas já fiz as contas explícitas acima para você poder copiar sem erro.

Passo 5

Resolver (b): z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr), x=\sin(3t), y=\cos(3t).
  1. Calcular as derivadas parciais. Para z=\ln(w) com w=1+x^{2}+y^{2}, temos \dfrac{dz}{dw}=1/w. Aplicando a cadeia para cada parcial:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(1+x^{2}+y^{2}) =\dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
De modo semelhante,
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.
Expliquei: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; o 1 e y^{2} são constantes ao derivar em relação a x.
  1. Calcular dx/dt e dy/dt:
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}\bigl(\sin(3t)\bigr)=3\cos(3t),
\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}\bigl(\cos(3t)\bigr)=-3\sin(3t).
  1. Aplicar a regra da cadeia:
\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 3\cos(3t)+\dfrac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot\bigl(-3\sin(3t)\bigr).
Fatorando \dfrac{6}{1+x^{2}+y^{2}} fica
\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{6}{1+x^{2}+y^{2}}\bigl(x\cos(3t)-y\sin(3t)\bigr).
  1. Substituir x=\sin(3t) e y=\cos(3t) e simplificar com calma:
x\cos(3t)-y\sin(3t)=\sin(3t)\cos(3t)-\cos(3t)\sin(3t)=0.
Portanto o numerador é zero.
  1. Observação alternativa e muito rápida (truque de prova): como x=\sin(3t) e y=\cos(3t), temos \,x^{2}+y^{2}=\sin^{2}(3t)+\cos^{2}(3t)=1. Assim z=\ln(1+1)=\ln 2, que é constante; logo \dfrac{dz}{dt}=0 imediatamente. Ambos os raciocínios chegam ao mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=9t^{2}\cos(3t^{3})
\dfrac{dz}{dt}=0

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