Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura
em função de
seja dada por
, em que
é expressa em graus Celsius
e em centímetros. Encontre a taxa instantânea de variação de
em relação à distância no ponto
na direção do eixo
.
Passo 1
Enunciado: a temperatura de uma chapa é
e queremos a taxa instantânea de variação de
no ponto
na direção do eixo
. Esse problema envolve derivadas parciais e derivada direcional; vamos precisar do gradiente de
e do vetor unitário na direção pedida.
Passo 2
O vetor unitário na direção do eixo
é
, pois aponta positivamente para o eixo
e já tem módulo 1. Logo, a derivada direcional de
nessa direção é
, que é simplesmente
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
usando a regra da cadeia. Como
, temos
Passo 4
No ponto
temos
e
, logo
.
Resposta
120 °C/cm