Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura T em função de (x, y) seja dada por T(x, y)=3(x^2+y^2)^2, em que T é expressa em graus Celsius + e em centímetros. Encontre a taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) na direção do eixo y.

Passo 1

Enunciado: a temperatura de uma chapa é T(x,y)=3(x^2+y^2)^2 e queremos a taxa instantânea de variação de T no ponto (1,2) na direção do eixo y. Esse problema envolve derivadas parciais e derivada direcional; vamos precisar do gradiente de T e do vetor unitário na direção pedida.

Passo 2

O vetor unitário na direção do eixo y é (0,1), pois aponta positivamente para o eixo y e já tem módulo 1. Logo, a derivada direcional de T nessa direção é nabla Tcdot(0,1), que é simplesmente partial Tpartial y.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de T em relação a y usando a regra da cadeia. Como T(x,y)=3(x^2+y^2)^2, temos
partial Tpartial y = 3 cdot 2(x^2+y^2) cdot 2y = 12y(x^2+y^2)

Passo 4

No ponto (1,2) temos x^2+y^2=1+4=5 e y=2, logo partial Tpartial y(1,2)=12cdot2cdot5=120.

Resposta

120 °C/cm

Exercícios relacionados