Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
l y^prime prime+(cos t) y^prime+3(ln |t|) y=0 y(2)=3 y^prime(2)=2
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
2
-infty
Nenhuma das demais alternativas
-infty
0
0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
l y^prime prime+(cos t) y^prime+3(ln |t|) y=0 y(2)=3 y^prime(2)=2
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem e a Teoria da Existência e Unicidade. Para resolver, vamos precisar analisar onde os coeficientes da equação são contínuos, garantindo assim que a solução exista e seja única nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da EDO:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Aqui:
P(t) = cos t e Q(t) = 3 ln |t|
Para garantir a existência e unicidade da solução, os coeficientes $ P(t) $ e $ Q(t) $ precisam ser contínuos no intervalo considerado.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade de cada coeficiente:
  1. $ P(t) = \cos t $: A função cosseno é contínua em todo o domínio dos números reais, ou seja, para todo $ t $.
  2. $ Q(t) = 3 \ln |t| $: A função logaritmo natural, $ \ln |t| $, é definida e contínua para $ t \neq 0 $. Isso porque o logaritmo de zero ou de números negativos não é definido no conjunto dos números reais.

Passo 4

Como o ponto inicial é $ t = 2 $, precisamos encontrar o maior intervalo que contenha esse ponto onde ambos os coeficientes $ P(t) $ e $ Q(t) $ são contínuos.
  • Como $ \cos t $ é contínuo para todo $ t $, não impõe restrições.
  • $ \ln |t| $ é contínuo para $ t > 0 $ e $ t < 0 $, mas como $ t = 2 $ está no intervalo $ t > 0 $, focamos nesse lado.
Portanto, o maior intervalo contínuo que contém $ t = 2 $ onde ambos os coeficientes são contínuos é:
t = 2

Resposta

0 < t < infty

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