Uma chapa plana de metal D=(x, y): 9 <= x^2+y^2 <= 25, está situada no plano- x y de modo que a temperatura T(em^circ C) no ponto (x, y) in D é dada por T(x, y)=x^2+y^2.
(d) Determine a equação da isotérmica para uma temperatura de 12^circ C.

Passo 1

Então, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma chapa de metal que está no plano XY, e a temperatura em cada ponto (x, y) dessa chapa é dada pela fórmula $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} $. O problema pede para a gente encontrar a equação da isotérmica para uma temperatura de $ 12^{\circ} C $. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma isotérmica e como usar a fórmula da temperatura para encontrar a equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma isotérmica. Uma isotérmica é uma curva que conecta todos os pontos com a mesma temperatura. No nosso caso, queremos a curva que reúne todos os pontos onde a temperatura é $ 12^{\circ} C $.

Passo 3

Sabemos que a temperatura em qualquer ponto (x, y) é dada por $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Para encontrar a isotérmica de $ 12^{\circ} C $, basta igualar a temperatura a 12:
T(x, y) = x^2 + y^2

Passo 4

Essa equação $ x^{2} + y^{2} = 12 $ representa um círculo no plano XY com centro na origem (0,0) e raio igual a $ \sqrt{12} $. Simplificando, o raio é $ 2\sqrt{3} $.

Passo 5

Então, a equação da isotérmica para $ 12^{\circ} C $ é um círculo de raio $ 2\sqrt{3} $ centrado na origem, o que confirma que todos os pontos nessa curva têm a mesma temperatura de 12 graus.

Resposta

A equação da isotérmica para uma temperatura de $ 12^{\circ} C $ é:
12^circ C

Exercícios relacionados