Uma chapa plana de metal
, está situada no plano-
de modo que a temperatura
no ponto
é dada por
.
(d) Determine a equação da isotérmica para uma temperatura de
.
(d) Determine a equação da isotérmica para uma temperatura de
Passo 1
Então, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma chapa de metal que está no plano XY, e a temperatura em cada ponto (x, y) dessa chapa é dada pela fórmula $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} $. O problema pede para a gente encontrar a equação da isotérmica para uma temperatura de $ 12^{\circ} C $. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma isotérmica e como usar a fórmula da temperatura para encontrar a equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma isotérmica. Uma isotérmica é uma curva que conecta todos os pontos com a mesma temperatura. No nosso caso, queremos a curva que reúne todos os pontos onde a temperatura é $ 12^{\circ} C $.
Passo 3
Sabemos que a temperatura em qualquer ponto (x, y) é dada por $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Para encontrar a isotérmica de $ 12^{\circ} C $, basta igualar a temperatura a 12:
Passo 4
Essa equação $ x^{2} + y^{2} = 12 $ representa um círculo no plano XY com centro na origem (0,0) e raio igual a $ \sqrt{12} $. Simplificando, o raio é $ 2\sqrt{3} $.
Passo 5
Então, a equação da isotérmica para $ 12^{\circ} C $ é um círculo de raio $ 2\sqrt{3} $ centrado na origem, o que confirma que todos os pontos nessa curva têm a mesma temperatura de 12 graus.
Resposta
A equação da isotérmica para uma temperatura de $ 12^{\circ} C $ é: