Seja
(a) Calcule
e
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função chamada $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes:
O exercício pede para calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Essa derivada nos mostra como $ f $ varia quando aumentamos ou diminuímos $ x $, mantendo $ y $ constante.
Para $ (x, y) \neq (0,0) $, usamos a definição da função:
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar $ f $ em relação a $ x $:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso nos mostra como $ f $ muda quando variamos $ y $, mantendo $ x $ constante.
Novamente, para $ (x, y) \neq (0,0) $, usamos:
Aplicando a regra do quociente para derivar $ f $ em relação a $ y $:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial fica:
Resposta
As derivadas parciais de $ f $ são:
e