Seja f(x, y)=cllx^3 yx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
(a) Calcule partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função chamada $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes:
f(x, y)
O exercício pede para calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Essa derivada nos mostra como $ f $ varia quando aumentamos ou diminuímos $ x $, mantendo $ y $ constante.
Para $ (x, y) \neq (0,0) $, usamos a definição da função:
f
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar $ f $ em relação a $ x $:
x
Simplificando o numerador:
partial fpartial x
Então, a derivada parcial fica:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso nos mostra como $ f $ muda quando variamos $ y $, mantendo $ x $ constante.
Novamente, para $ (x, y) \neq (0,0) $, usamos:
f
Aplicando a regra do quociente para derivar $ f $ em relação a $ y $:
y
Simplificando o numerador:
partial fpartial y
Então, a derivada parcial fica:
f

Resposta

As derivadas parciais de $ f $ são:
f
e
partial fpartial x = x^4 y + 3x^2 y^3(x^2 + y^2)^2

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