Mostre que o limite
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite:
Aqui, estamos lidando com um limite de função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando os pontos
se aproximam de
por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que levam a valores de limite diferentes, isso mostra que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo
. Assim, nosso limite fica:
Agora, queremos ver o que acontece com essa fração quando
se aproximam de
por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar de
:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Vamos calcular o limite para cada um desses caminhos.
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então, pelo Caminho 1, o limite é
.
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Podemos fatorar
no denominador:
Agora, quando
,
, então:
Então, pelo Caminho 2, o limite é
.
Passo 6
Comparando os dois limites que encontramos:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar por caminhos distintos.