Mostre que o limite lim (x, y) (0,1) 5 x^2(y-1)^2x^4+(y-1)^4 não existe.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite:
lim (x, y) (0,1) 5 x^2(y-1)^2x^4+(y-1)^4
Aqui, estamos lidando com um limite de função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,1) por diferentes caminhos. Se encontrarmos caminhos que levam a valores de limite diferentes, isso mostra que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo t = y - 1. Assim, nosso limite fica:
lim (x, t) (0,0) 5 x^2 t^2x^4 + t^4
Agora, queremos ver o que acontece com essa fração quando (x, t) se aproximam de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar de (0,0):
  1. Caminho 1: t = x
  2. Caminho 2: t = x^2
Vamos calcular o limite para cada um desses caminhos.

Passo 4

Caminho 1: t = x
Substituindo t = x na função:
5 x^2 (x)^2x^4 + (x)^4 = 5 x^42 x^4 = 52
Então, pelo Caminho 1, o limite é 52.

Passo 5

Caminho 2: t = x^2
Substituindo t = x^2 na função:
5 x^2 (x^2)^2x^4 + (x^2)^4 = 5 x^6x^4 + x^8
Podemos fatorar x^4 no denominador:
5 x^6x^4(1 + x^4) = 5 x^21 + x^4
Agora, quando x 0, x^4 0, então:
5 x^21 + x^4 0
Então, pelo Caminho 2, o limite é 0.

Passo 6

Comparando os dois limites que encontramos:
  • Caminho 1: 52
  • Caminho 2: 0
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar por caminhos distintos.

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