Encontre as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito no elipsóide 9 x^2+4 y^2+16 z^2=144. Determine também o volume desse paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado pede achar as dimensões do paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito no elipsóide 9x^2+4y^2+16z^2=144. O assunto é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange e vamos usar a expressão do volume V=8xyz sob essa restrição.

Passo 2

Definimos f(x,y,z)=xyz (já que maximizar V=8xyz é equivalente a maximizar xyz) e a restrição g(x,y,z)=9x^2+4y^2+16z^2-144=0. Aplicamos o método de Lagrange, exigindo nabla f=lambdanabla g.

Passo 3

Das igualdades yz=lambda,18x, xz=lambda,8y e xy=lambda,32z igualamos razões: de yz/(18x)=xz/(8y) vem y^2=(9/4)x^2, ou seja y=tfrac32x; e de yz/(18x)=xy/(32z) vem z^2=(9/16)x^2, ou seja z=tfrac34x.

Passo 4

Substituímos y=tfrac32x e z=tfrac34x em 9x^2+4y^2+16z^2=144:
9x^2+4l(tfrac32xr)^2+16l(tfrac34xr)^2=144
Isso dá 9x^2+9x^2+9x^2=27x^2=144, logo x^2=16/3 e x=4/raiz3. Assim y=2raiz3 e z=raiz3.

Passo 5

Os semi-eixos do paralelepípedo são x=4/raiz3, y=2raiz3, z=raiz3, então as dimensões são 2x=8/raiz3, 2y=4raiz3, 2z=2raiz3. O volume máximo é V=8xyz=64raiz3.

Resposta

As dimensões são 2x=tfrac8raiz3, 2y=4raiz3, 2z=2raiz3, e o volume máximo é 64raiz3.

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