Encontre as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito no elipsóide
. Determine também o volume desse paralelepípedo.
Passo 1
O enunciado pede achar as dimensões do paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito no elipsóide
. O assunto é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange e vamos usar a expressão do volume
sob essa restrição.
Passo 2
Definimos
(já que maximizar
é equivalente a maximizar
) e a restrição
. Aplicamos o método de Lagrange, exigindo
.
Passo 3
Das igualdades
,
e
igualamos razões: de
vem
, ou seja
; e de
vem
, ou seja
.
Passo 4
Substituímos
e
em
:
Isso dá
Passo 5
Os semi-eixos do paralelepípedo são
,
,
, então as dimensões são
,
,
. O volume máximo é
.
Resposta
As dimensões são
,
,
, e o volume máximo é
.