Com uma chapa retangular de alumínio de
, deseja-se construir uma caixa retangular com tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.
Passo 1
O problema pede que a gente faça uma caixa retangular com tampa (ou seja, um paralelepípedo completo) usando uma chapa de alumínio de área total 144 m² e maximize o volume. O conteúdo envolve montagem da área total de um paralelepípedo, expressão do volume e otimização (derivadas).
Passo 2
Vamos chamar de x, y e z as arestas da base retangular e altura da caixa, respectivamente. A área total de material (fundo + tampa + 4 laterais) é
O volume é
Passo 3
Pela simetria do problema e para simplificar, suponhamos que a base seja quadrada, isto é, x = y = a. Então a restrição de área vira
e o volume fica
Passo 4
Da restrição de área isolamos z:
Logo o volume em função de a é
Passo 5
Para maximizar V(a), derivamos e igualamos a zero:
Passo 6
Com a = 2\sqrt6, encontramos z:
Ou seja, a caixa é um cubo de aresta 2√6.
Passo 7
O volume máximo é
Resposta
As dimensões são 2√6 m × 2√6 m × 2√6 m, e o volume máximo vale 48√6 m³.