Com uma chapa retangular de alumínio de 144 m^2, deseja-se construir uma caixa retangular com tampa com maior volume possível. Determine as dimensões e o volume dessa caixa.

Passo 1

O problema pede que a gente faça uma caixa retangular com tampa (ou seja, um paralelepípedo completo) usando uma chapa de alumínio de área total 144 m² e maximize o volume. O conteúdo envolve montagem da área total de um paralelepípedo, expressão do volume e otimização (derivadas).

Passo 2

Vamos chamar de x, y e z as arestas da base retangular e altura da caixa, respectivamente. A área total de material (fundo + tampa + 4 laterais) é
2xy + 2xz + 2yz = 144
O volume é
V = x y z

Passo 3

Pela simetria do problema e para simplificar, suponhamos que a base seja quadrada, isto é, x = y = a. Então a restrição de área vira
2a^2 + 4a z = 144
e o volume fica
V(a,z) = a^2 z

Passo 4

Da restrição de área isolamos z:
2a^2 + 4a z = 144 [6pt] 4a z = 144 - 2a^2 [6pt] z = 144 - 2a^24a = 72 - a^22a
Logo o volume em função de a é
V(a) = a^2 cdot 72 - a^22a = a(72 - a^2)2 = 72a - a^32

Passo 5

Para maximizar V(a), derivamos e igualamos a zero:
V'(a) = 72 - 3a^22 = 0 Longrightarrow 72 - 3a^2 = 0 Longrightarrow a^2 = 24 Longrightarrow a = 2raiz6

Passo 6

Com a = 2\sqrt6, encontramos z:
z = 72 - (2raiz6)^22,(2raiz6) = 72 - 244raiz6 = 484raiz6 = 12raiz6 = 2raiz6
Ou seja, a caixa é um cubo de aresta 2√6.

Passo 7

O volume máximo é
V = a^3 = (2raiz6)^3 = 8 cdot 6raiz6 = 48raiz6 m^3

Resposta

As dimensões são 2√6 m × 2√6 m × 2√6 m, e o volume máximo vale 48√6 m³.

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