Determine e esboce o domínio da função.
g(x, y)=raizx+raiz4-4 x^2-y^2.

Passo 1

Estamos lidando com a função g(x,y)=raizx+raiz4-4x^2-y^2. O objetivo é determinar o domínio, isto é, o conjunto de pares (x,y) para os quais os radicais são bem definidos (não negativos). Vamos usar as desigualdades dos radicandos.

Passo 2

Para o primeiro radical raizx, a condição é
x>=0

Passo 3

Para o segundo radical raiz4-4x^2-y^2, precisamos de
4-4x^2-y^2>=0Long<=ftrightarrow4x^2+y^2<=4

Passo 4

A desigualdade 4x^2+y^2<=4 define uma elipse de semi-eixos 1 (no eixo x) e 2 (no eixo y). Além disso, da primeira condição temos x>=0.

Passo 5

Combinando as duas condições, obtemos o domínio
$$D=\bigl{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid0\le x\le1,;y2\le4-4x2\bigr}.
$$

Passo 6

Geometricamente, D é a metade direita ( x>=0) da elipse x^2+y^2/4<=1, incluindo todas as fronteiras.

Resposta

O domínio é
$$D={(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid0\le x\le1,;-2\sqrt{1-x^2}\le y\le2\sqrt{1-x^2}},
$$
ou seja, a metade direita da elipse D=(x,y)inR^2mid0<= x<=1,;-2raiz1-x^2<= y<=2raiz1-x^2, .

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