Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
f(x, y)=2 x y-5 x^2-2 y^2+4 x-4

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função f(x,y)=2xy−5x²−2y²+4x−4. Vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx=partial fpartial x=2y-10x+4,
fy=partial fpartial y=2x-4y.
O sistema fx=0, fy=0 fica:
2y-10x+4=0,
2x-4y=0

Passo 3

Resolvendo 2x-4y=0 x=2y. Substituindo em 2y-10x+4=0 obtemos
2y-10(2y)+4=0implies -18y+4=0implies y=tfrac29,
então x=2cdottfrac29=tfrac49. O único ponto crítico é (tfrac49,tfrac29).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas:
fxx=-10,
fxy=2,
fyy=-4.
O discriminante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=(-10)(-4)-(2)^2=40-4=36>0

Passo 5

Como D>0 e fxx=-10<0, pelo teste da segunda derivada o ponto (tfrac49,tfrac29) é um máximo local. Não há outros pontos críticos, logo não existem mínimos locais nem pontos de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (tfrac49,tfrac29), que é um máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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