Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função f(x,y)=2xy−5x²−2y²+4x−4. Vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
,
.
O sistema fica:
O sistema
Passo 3
Resolvendo
dá
. Substituindo em
obtemos
então
. O único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas:
,
,
.
O discriminante da Hessiana é
O discriminante da Hessiana é
Passo 5
Como
e
, pelo teste da segunda derivada o ponto
é um máximo local. Não há outros pontos críticos, logo não existem mínimos locais nem pontos de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.