Encontre as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito na esfera x^2+y^2+z^2=12. Determine também o volume desse paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado pede para achar as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume inscrito na esfera x^2+y^2+z^2=12, ou seja, otimizarmos o volume sob a restrição da esfera. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema de otimização com restrição.

Passo 2

Definimos x,y,z>=0 como os semi-eixos do paralelepípedo. Suas dimensões são 2x,2y,2z e o volume é dado por
V(x,y,z)=8xyz
A restrição é
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-12=0

Passo 3

Formamos a função de Lagrange
,L(x,y,z,lambda)=8xyz-lambda(x^2+y^2+z^2-12)
e impomos as condições de estação: nablaL=0.

Passo 4

As derivadas parciais geram o sistema
partialLpartial x=8yz-2lambda x=0 partialLpartial y=8xz-2lambda y=0 partialLpartial z=8xy-2lambda z=0 partialLpartiallambda=-(x^2+y^2+z^2-12)=0

Passo 5

Dos dois primeiros podemos escrever
8yz2x = 8xz2y = 8xy2z
de onde obtemos y^2=x^2 e z^2=x^2. Como x,y,z>0, segue x=y=z.

Passo 6

Substituindo na restrição x^2+y^2+z^2=12 com x=y=z, temos
3x^2=12Rightarrow x^2=4Rightarrow x=2
Logo as semi-arestas são 2 e as arestas do paralelepípedo são 2x=4.

Passo 7

Calculamos o volume máximo:
Vmax=8,x,y,z=8cdot2cdot2cdot2=64

Resposta

As dimensões são 4×4×4 e o volume máximo vale 64.

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