Encontre as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito na esfera . Determine também o volume desse paralelepípedo.
Passo 1
O enunciado pede para achar as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume inscrito na esfera , ou seja, otimizarmos o volume sob a restrição da esfera. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema de otimização com restrição.
Passo 2
Definimos como os semi-eixos do paralelepípedo. Suas dimensões são e o volume é dado por
A restrição é
Passo 3
Formamos a função de Lagrange
e impomos as condições de estação: .
Passo 4
As derivadas parciais geram o sistema
Passo 5
Dos dois primeiros podemos escrever
8yz2x = 8xz2y = 8xy2z
de onde obtemos y^2=x^2 e z^2=x^2. Como x,y,z>0, segue x=y=z.
Passo 6
Substituindo na restrição x^2+y^2+z^2=12 com x=y=z, temos
3x^2=12Rightarrow x^2=4Rightarrow x=2
Logo as semi-arestas são 2 e as arestas do paralelepípedo são 2x=4.