\checkmark 2) ( 5 pts) O Engenheiro de uma construtora calculou a média aritmética dos gastos mensais de toda a empresa no primeiro semestre deste ano. Obteve o valor de R$500.000 . Sabendo que nos cinco primeiros meses as vendas foram iguais a R$ 400.000 , R$300.000 , R$ 250.000 , R$500.000 e R$ 720.000. Calcule o valor das vendas de junho e o desvio padrão. Faça um comentário sobre os dados
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
A média aritmética dos gastos mensais da empresa no primeiro semestre é \text{R\$ }500.000.
Os cinco primeiros meses tiveram vendas iguais a \text{R\$}400.000, \text{R\$ }300.000, \text{R\$}250.000, \text{R\$ }500.000 e \text{R\$ }720.000.
Perguntas que o enunciado faz:
Calcular o valor das vendas de junho.
Calcular o desvio padrão dos seis meses.
Fazer um comentário sobre os dados (interpretação / comportamento dos valores).
Passo 2
Encontrar as vendas de junho usando a definição de média aritmética. Se a média aritmética dos 6 meses é \text{R\$ }500.000, então a soma dos 6 meses é
\text{Vendas de junho} = 3.000.000-2.170.000 = 830.000.
Logo o valor de junho é \text{R\$ }830.000.
Passo 3
Explicar o que é desvio padrão e qual fórmula vamos usar. O desvio padrão (populacional) mede, em média, quanto os valores se afastam da média. Como temos todos os meses do semestre (toda a população considerada), usamos a fórmula populacional:
onde \sigma é o desvio padrão, n é o número de observações (aqui n=6), x_i são as observações (vendas mensais) e \mu é a média aritmética (aqui \mu=\text{R\$ }500.000). Vou calcular passo a passo cada (x_i-\mu)^2.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, trabalho em unidades de mil reais (dividindo todos os valores por 1000). Isso é apenas para facilitar contas: se x_i for dado em milhares, o desvio padrão em milhares deve ser multiplicado por 1000 no final. Em mil reais os valores são:
400,\;300,\;250,\;500,\;720,\;830
e a média é \mu=500 (em milhares). Agora calculo cada desvio e o quadrado:
Posso arredondar para valores inteiros: \sigma \approx \text{R\$}212.053 (arredondando para o real) ou \sigma \approx \text{R\$ }212.053{,}45 com centavos.
Passo 6
Interpretação / comentário sobre os dados (o que os números nos dizem):
A média é \text{R\$}500.000 e a mediana (valores ordenados 250,300,400,500,720,830) é a média de 400 e 500, ou seja \text{R\$ }450.000. Como a média (\text{R\$}500.000) é maior que a mediana (\text{R\$ }450.000), os dados apresentam assimetria à direita (há meses relativamente altos que puxam a média para cima).
O desvio padrão \approx \text{R\$ }212.053 é grande em relação à média (cerca de 42\% da média), o que indica alta variabilidade nas vendas mensais — os valores não estão muito concentrados em torno da média.
Observando os valores, junho (\text{R\$}830.000) e maio (\text{R\$ }720.000) são bem maiores que os meses baixos (\text{R\$}250.000, \text{R\$ }300.000), justificando a grande dispersão. Podemos considerar junho como um valor que “puxa” a média para cima (um outlier relativo).