\checkmark 2) ( 5 pts) O Engenheiro de uma construtora calculou a média aritmética dos gastos mensais de toda a empresa no primeiro semestre deste ano. Obteve o valor de R$500.000 . Sabendo que nos cinco primeiros meses as vendas foram iguais a R$ 400.000 , R$300.000 , R$ 250.000 , R$500.000 e R$ 720.000. Calcule o valor das vendas de junho e o desvio padrão. Faça um comentário sobre os dados

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
  • A média aritmética dos gastos mensais da empresa no primeiro semestre é \text{R\$ }500.000.
  • Os cinco primeiros meses tiveram vendas iguais a \text{R\$}400.000, \text{R\$ }300.000, \text{R\$}250.000, \text{R\$ }500.000 e \text{R\$ }720.000.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Calcular o valor das vendas de junho.
  2. Calcular o desvio padrão dos seis meses.
  3. Fazer um comentário sobre os dados (interpretação / comportamento dos valores).

Passo 2

Encontrar as vendas de junho usando a definição de média aritmética. Se a média aritmética dos 6 meses é \text{R\$ }500.000, então a soma dos 6 meses é
6\times 500.000 = 3.000.000.
Somando as cinco vendas conhecidas temos
400.000+300.000+250.000+500.000+720.000=2.170.000.
Portanto as vendas de junho valem
\text{Vendas de junho} = 3.000.000-2.170.000 = 830.000.
Logo o valor de junho é \text{R\$ }830.000.

Passo 3

Explicar o que é desvio padrão e qual fórmula vamos usar. O desvio padrão (populacional) mede, em média, quanto os valores se afastam da média. Como temos todos os meses do semestre (toda a população considerada), usamos a fórmula populacional:
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2},
onde \sigma é o desvio padrão, n é o número de observações (aqui n=6), x_i são as observações (vendas mensais) e \mu é a média aritmética (aqui \mu=\text{R\$ }500.000). Vou calcular passo a passo cada (x_i-\mu)^2.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, trabalho em unidades de mil reais (dividindo todos os valores por 1000). Isso é apenas para facilitar contas: se x_i for dado em milhares, o desvio padrão em milhares deve ser multiplicado por 1000 no final. Em mil reais os valores são:
400,\;300,\;250,\;500,\;720,\;830
e a média é \mu=500 (em milhares). Agora calculo cada desvio e o quadrado:
\begin{aligned} (400-500)^2 &= (-100)^2 = 10.000,\\\ (300-500)^2 &= (-200)^2 = 40.000,\\\ (250-500)^2 &= (-250)^2 = 62.500,\\\ (500-500)^2 &= 0^2 = 0,\\\ (720-500)^2 &= 220^2 = 48.400,\\\ (830-500)^2 &= 330^2 = 108.900. \end{aligned}

Passo 5

Somando os quadrados dos desvios (ainda em milhares^2) temos
10.000+40.000+62.500+0+48.400+108.900 = 269.800.
A variância populacional (em milhares^2) é
\sigma^2 = \frac{269.800}{6} = 44.966{,}666\ldots
Para obter o desvio padrão em milhares, fazemos
\sigma_{\text{(milhares)}} = \sqrt{44.966{,}666\ldots}\approx 212{,}05345.
Voltando para reais (multiplicando por 1000) obtemos
\sigma \approx 212{,}053{,}45\\ (\text{em reais}).
Posso arredondar para valores inteiros: \sigma \approx \text{R\$}212.053 (arredondando para o real) ou \sigma \approx \text{R\$ }212.053{,}45 com centavos.

Passo 6

Interpretação / comentário sobre os dados (o que os números nos dizem):
  • A média é \text{R\$}500.000 e a mediana (valores ordenados 250,300,400,500,720,830) é a média de 400 e 500, ou seja \text{R\$ }450.000. Como a média ( \text{R\$}500.000) é maior que a mediana ( \text{R\$ }450.000), os dados apresentam assimetria à direita (há meses relativamente altos que puxam a média para cima).
  • O desvio padrão \approx \text{R\$ }212.053 é grande em relação à média (cerca de 42\% da média), o que indica alta variabilidade nas vendas mensais — os valores não estão muito concentrados em torno da média.
  • Observando os valores, junho ( \text{R\$}830.000) e maio ( \text{R\$ }720.000) são bem maiores que os meses baixos ( \text{R\$}250.000, \text{R\$ }300.000), justificando a grande dispersão. Podemos considerar junho como um valor que “puxa” a média para cima (um outlier relativo).

Resposta

\text{Vendas de junho} = \text{R\$ }830.000
\text{Desvio padrão} \approx \text{R\$ }212.053{,}45ã

Exercícios relacionados