(3 pts) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade
1
2
3
4
5
0.20
0.25
0.30
0.10
Encontre:
a)
Valor de
.
b)
Valor de
c) A média de
d) A variância de
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
0.20 | 0.25 |
|
0.30 | 0.10 |
b)
c) A média de
d) A variância de
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de uma variável aleatória discreta
com cinco possíveis valores. A tabela fornecida é:
As perguntas que precisamos responder são:
a) Encontrar .
b) Encontrar , isto é, a função de distribuição acumulada em
(ou
).
c) Calcular a média de (ou
).
d) Calcular a variância de (ou
).
a) Encontrar
b) Encontrar
c) Calcular a média de
d) Calcular a variância de
Informações relevantes dadas: as probabilidades para
são
,
,
e
, respectivamente. A probabilidade para
é desconhecida e precisa ser determinada sabendo que a soma das probabilidades deve ser
.
Passo 2
Encontrar
usando a propriedade básica de uma distribuição de probabilidade: a soma de todas as probabilidades é
. Ou seja,
Substituindo as probabilidades conhecidas e chamando
de incógnita:
Calculemos a soma dentro dos parênteses:
Portanto
Passo 3
Calcular
. Como os possíveis valores de
vão de
a
e já cobrimos todas as probabilidades (a soma é
), temos diretamente:
Logo
.
Passo 4
Calcular a média
. Vamos usar a definição de esperança (média) para uma variável discreta:
onde
são os valores possíveis e
as respectivas probabilidades. Aqui os termos são:
Calculemos cada produto:
Somando:
Somando passo a passo:
Portanto
. (Interpretação informal: em média a variável vale aproximadamente
.)
Passo 5
Calcular a variância
. Usaremos a fórmula conveniente
onde
Primeiro calculemos
. Os termos são:
Somando:
Somando passo a passo:
Então
.
Já calculamos
no passo anterior, então
Calculando o quadrado:
Agora aplicamos a fórmula da variância:
Portanto a variância é
. Se preferir arredondar normalmente para três casas decimais, fica
.