(3 pts) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade
x_{i} 1 2 3 4 5
P\left(X=x_{i}\right) 0.20 0.25 ? 0.30 0.10

Encontre:

a) O Valor de P(X=3).
b) O Valor de F(5)
c) A média de X
d) A variância de X

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de uma variável aleatória discreta X com cinco possíveis valores. A tabela fornecida é:
\begin{array}{c|ccccc} x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline P(X=x_i) & 0,20 & 0,25 & ? & 0,30 & 0,10 \end{array}
As perguntas que precisamos responder são:
a) Encontrar P(X=3).
b) Encontrar F(5), isto é, a função de distribuição acumulada em x=5 (ou P(X\le 5)).
c) Calcular a média de X (ou E[X]).
d) Calcular a variância de X (ou \mathrm{Var}(X)).
Informações relevantes dadas: as probabilidades para x=1,2,4,5 são 0,20, 0,25, 0,30 e 0,10, respectivamente. A probabilidade para x=3 é desconhecida e precisa ser determinada sabendo que a soma das probabilidades deve ser 1.

Passo 2

Encontrar P(X=3) usando a propriedade básica de uma distribuição de probabilidade: a soma de todas as probabilidades é 1. Ou seja,
\sum_{i=1}^{5} P(X=x_i)=1.
Substituindo as probabilidades conhecidas e chamando P(X=3) de incógnita:
P(X=3)=1-\bigl(0,20+0,25+0,30+0,10\bigr).
Calculemos a soma dentro dos parênteses:
0,20+0,25=0,45,
0,45+0,30=0,75,
0,75+0,10=0,85.
Portanto
P(X=3)=1-0,85=0,15.

Passo 3

Calcular F(5)=P(X\le 5). Como os possíveis valores de X vão de 1 a 5 e já cobrimos todas as probabilidades (a soma é 1), temos diretamente:
F(5)=P(X\le 5)=\sum_{i=1}^{5} P(X=x_i)=1.
Logo F(5)=1.

Passo 4

Calcular a média E[X]. Vamos usar a definição de esperança (média) para uma variável discreta:
E[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde x_i são os valores possíveis e P(X=x_i) as respectivas probabilidades. Aqui os termos são:
1\cdot 0,20,\quad 2\cdot 0,25,\quad 3\cdot 0,15,\quad 4\cdot 0,30,\quad 5\cdot 0,10.
Calculemos cada produto:
1\cdot 0,20=0,20,
2\cdot 0,25=0,50,
3\cdot 0,15=0,45,
4\cdot 0,30=1,20,
5\cdot 0,10=0,50.
Somando:
E[X]=0,20+0,50+0,45+1,20+0,50.
Somando passo a passo:
0,20+0,50=0,70,
0,70+0,45=1,15,
1,15+1,20=2,35,
2,35+0,50=2,85.
Portanto E[X]=2,85. (Interpretação informal: em média a variável vale aproximadamente 2,85.)

Passo 5

Calcular a variância \mathrm{Var}(X). Usaremos a fórmula conveniente
\mathrm{Var}(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2,
onde
E[X^2]=\sum_i x_i^2\,P(X=x_i).
Primeiro calculemos E[X^2]. Os termos são:
1^2\cdot 0,20=1\cdot 0,20=0,20,
2^2\cdot 0,25=4\cdot 0,25=1,00,
3^2\cdot 0,15=9\cdot 0,15=1,35,
4^2\cdot 0,30=16\cdot 0,30=4,80,
5^2\cdot 0,10=25\cdot 0,10=2,50.
Somando:
E[X^2]=0,20+1,00+1,35+4,80+2,50.
Somando passo a passo:
0,20+1,00=1,20,
1,20+1,35=2,55,
2,55+4,80=7,35,
7,35+2,50=9,85.
Então E[X^2]=9,85.
Já calculamos E[X]=2,85 no passo anterior, então
\bigl(E[X]\bigr)^2=(2,85)^2.
Calculando o quadrado:
(2,85)^2=2,85\times 2,85=8,1225.
Agora aplicamos a fórmula da variância:
\mathrm{Var}(X)=9,85-8,1225=1,7275.
Portanto a variância é \mathrm{Var}(X)=1,7275. Se preferir arredondar normalmente para três casas decimais, fica 1,728.

Resposta

P(X=3)=0,15
F(5)=1
E[X]=2,85
\mathrm{Var}(X)=1,7275

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