Exercício 3. (Valor: 1.5) No Departamento de Engenharia da UFSCar, uma máquina enche pacotes de café, segundo uma distribuição normal, com variância igual a 100 \mathrm{~g}^{2}. A máquina estava regulada para encher pacotes com 500 g , em média. Após uma queda de energia, ela foi desregulada e não sabemos qual é a nova média \mu. Uma amostra de 25 pacotes apresentou uma média igual a 485 g . Construa um IC de 95 \% para a média.

Passo 1

O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média desconhecida \mu depois da desregulação da máquina.
Informações dadas:
\sigma^{2}=100\\ \mathrm{g}^{2}
\Rightarrow \sigma=10\\ \mathrm{g}
n=25
\bar{x}=485\\ \mathrm{g}
Queremos um intervalo de confiança com nível de confiança 95\% para \mu.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo):
Um intervalo de confiança para a média \mu, quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e a população é normal, tem a forma
\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=485\\ \mathrm{g}).
  • \mu é a média populacional desconhecida, que queremos estimar.
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=10\\ \mathrm{g}).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de probabilidade \alpha/2; para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
Por que usamos z e não t? Porque \sigma é conhecida (a variância foi dada) e assumimos normalidade da população. Nessas condições a estatística padronizada segue a normal padrão, então usamos z.

Passo 3

Encontrar o valor crítico z_{1-\alpha/2} para 95\%:
z_{0,975}=1,96
(essa é a tabela padrão da normal; para 95% o quantil de 0,975 vale aproximadamente 1,96.)
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=z_{0,975}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\cdot 2=3,92\\ \mathrm{g}.
Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=485-3,92=481,08\\ \mathrm{g},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=485+3,92=488,92\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Interpretação curta e amigável: com esse procedimento, construímos um intervalo que, se repetirmos o processo de amostragem muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos gerados conteriam a verdadeira média \mu. Ou seja, estamos 95\% confiantes de que \mu está entre 481,08\\ \mathrm{g} e 488,92\\ \mathrm{g}. Força aí — é um resultado direto e útil para a prova!

Resposta

\mathrm{IC}_{95\%} = [481,08\\ \mathrm{g},\\\ 488,92\\ \mathrm{g}]

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