Exercício 3. (Valor: 1.5) No Departamento de Engenharia da UFSCar, uma máquina enche pacotes de café, segundo uma distribuição normal, com variância igual a
. A máquina estava regulada para encher pacotes com 500 g , em média. Após uma queda de energia, ela foi desregulada e não sabemos qual é a nova média
. Uma amostra de 25 pacotes apresentou uma média igual a 485 g . Construa um IC de
para a média.
Passo 1
O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de
para a média desconhecida
depois da desregulação da máquina.
Informações dadas:
Informações dadas:
Queremos um intervalo de confiança com nível de confiança
para
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo):
Um intervalo de confiança para a média
, quando a variância populacional
é conhecida e a população é normal, tem a forma
Aqui:
-
é a média amostral (aqui ). -
é a média populacional desconhecida, que queremos estimar. -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de probabilidade ; para nível de confiança temos e .
Por que usamos
e não
? Porque
é conhecida (a variância foi dada) e assumimos normalidade da população. Nessas condições a estatística padronizada segue a normal padrão, então usamos
.
Passo 3
Encontrar o valor crítico
para
:
(essa é a tabela padrão da normal; para 95% o quantil de 0,975 vale aproximadamente
.)
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
Passo 4
Calcular a margem de erro:
Calcular os limites do intervalo:
Passo 5
Interpretação curta e amigável: com esse procedimento, construímos um intervalo que, se repetirmos o processo de amostragem muitas vezes, cerca de
dos intervalos gerados conteriam a verdadeira média
. Ou seja, estamos
confiantes de que
está entre
e
. Força aí — é um resultado direto e útil para a prova!